Home   Lessen online Functies en Grafieken Onderwerpen  
kader_rand
Startpagina
Bravenet

Matrices en Determinanten
Stelsels lineaire vergelijkingen oplossen
  

MD-Menu


Inleiding
Beschouw een stelsel van n lineaire vergelijkingen met n onbekenden.

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = c1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = c2
..............................................
..............................................
..............................................

a
n1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = cn

Dit stelsel vergelijkingen kan geschreven in de vorm van een matrixvergelijking.

a11  a12  a13  ...  a1n
a21  a22  a23  ...  a2n
...........................
...........................
...........................

a
n1  an2  an3  ...  ann
x1
x2
.
.
.
xn

 = 
c1
c2
.
.
.
cn

In leerboeken tref je meestal de volgende korte en krachtige notatie aan

A X = C,

(1)

waarin A = (aij ) de coŽfficiŽntenmatrix voorstelt, en X en C kolommatrices zijn,

A
a11  a12  a13  ...  a1n
a21  a22  a23  ...  a2n
...........................
...........................
...........................

a
n1  an2  an3  ...  ann
X x1
x2
.
.
.
xn
 en C c1
c2
.
.
.
cn

A heet niet-singulier als A een inverse matrix A-1 heeft, zodanig dat AA-1 =A-1A = I, waarin I de eenheidsmatrix voorstelt.

 
I

1  0  0  ...  0
0  1  0  ...  0
0  0  1  ...  0
...................
...................
...................

0  0  0  ...  1

Als A een inverse matrix A-1 heeft, heeft het stelsel precies ťťn oplossing. Uit (1) volgt namelijk: A-1 (A X) = A-1 C en omdat A-1 A = I, volgt

A-1 (A X) = A-1
(A-1 A) X = A-1
    I X  = A-1
  X  = A-1 C (2)

Bij het bepalen of een gegeven stelsel precies ťťn oplossing heeft, blijven dus twee problemen over:

  1. Hoe bepaal  je of de matrix A niet-singulier is?

  2. Hoe bepaal je in dat geval de inverse matrix A-1 van A?

Het antwoord op de eerste vraag is eenvoudig. Een vierkante matrix A is niet-singulier als de determinant van A ongelijk 0 is , det A 0. Het programma geeft de waarde van de determinant en je kunt dus direct zien of de ingevoerde matrix A niet-singulier is. Het programma berekent in dat geval ook de inverse matrix A-1 van A. We gaan nu een voorbeeld bekijken hoe je met het programma 'Matrixbewerkingen op Internet' De oplossing van een stelsel lineaire vergelijkingen bepaald.

Opmerking
Als de vierkante coŽfficiŽntenmatrix A geen inverse bezit zijn er nog twee mogelijkheden:

  1. Het stelsel vergelijkingen is strijdig geen enkele oplossing

  2. Het stelsel vergelijkingen is afhankelijk oneindig veel oplossingen


Voorbeeld
We gaan het volgende stelsel met het programma oplossen.

2x1 - 5x2 + 4x3 = -3
 x1 - 2x2x3 =
5
 x
1 - 4x2 + 6x3 = 10

We kunnen dit stelsel schrijven als een matrixvergelijking

2  -5  4 
1  -2  1 
1  -4  6 
x1
x2
x3
 =  -3
5
10

We gaan als volgt te werk:

  • Kies in het Bestand-menu van het programma de optie 'Nieuw Project'

  • Kies in het dialoogkader dat je dan krijgt het project  C = A-1 B


     

  • Geef voor matrix A en B het gewenste aantal rijen en kolommen op

  • Vul voor matrix A de matrix

    A 2  -5  4
    1  -2  1
    1  -4  6
      in.

    Het programma geeft aan dat det A = 1. Er bestaat dus een inverse matrix van A en het stelsel heeft dus een unieke oplossing!

  • Vul voor matrix B de kolommatrix

    B -3
    5
    10
      in.
     
  • We lezen in matrix C de oplossing van het stelsel af:

    C 124
    75
    31
         

    De oplossing van het stelsel is dus  x1 = 124, x2 = 75 en x3 = 31.

Ga dit voorbeeld met het onderstaande programma na! 


Het programma (programma-handleiding)



Disclaimer:
 Browsers sometimes crash when running computation-intensive ActiveX controls.
 Make sure your important work is saved before running this utility.

Omhoog


Opgaven

Bepaal m.b.v. het bovenstaande programma of de volgende stelsels vergelijkingen een unieke oplossing hebben. Bepaal in dat geval de oplossing.

1.

x  +  y  +  3z  =  5
2x  -  y  +  4z  =  11
 -  y  +  z  =  3

             5.

x  -  2y  +  2z  +  2u  =  -2
2x  +  3y  -  z  -  5u  =  9
4x  -  y  +  z  -  u  =  5
5x  +  3y  +  2z  +  u  =  3
2.
3x  +  2y  +  z  =  1
5x  +  3y  +  3z  =  2
x  +  y  -  z  =  1
6.
3x  -  2y  +  5z  +  u  =  1
x  +  y  -  3z  +  2u  =  2
6x  +  y  -  4z  +  3u  =  7
5x  -  3y  +  2z  +  u  =  3
3.
3x  +  2y  +  z  =  1
5x  +  3y  +  3z  =  2
7x  -  4y  +  5z  =  3
7.
x  +  y  -  3z  +  u  =  5
2x  -  y  +  z  -  2u  =  2
7x  +  y  -  7z  +  3u  =  3
5x  -  3y  +  5z  +  2u  =  -3
4.
x  +  y  -  z  =  0
5x  +  3y  +  3z  =  2
7x  +  4y  +  5z  =  3
8.
x  +  y  +  2z  +  3u  =  0
2x  +  2y  +  7z  +  11u  =  2
3x  +  3y  +  6z  +  10u  =  0
x  +  y  -  z  -  u  =  -3

Antwoorden


Omhoog

Wiskunde online ----- is speciaal ontworpen voor:
Microsoft  Internet Explorer 5.5 of hoger
Beeldschermresolutie minimaal 800◊600
JavaScript-Interpretatie ingeschakeld!
Bijgewerkt: