Home   Lessen online Functies en Grafieken Onderwerpen  
kader_rand
Startpagina
Bravenet

Matrices en Determinanten
Het vermenigvuldigen van matrices
 

MD-Menu


Definitie
Stel A = (aij) is een mp matrix en B = (bij) is een pn matrix . Het aantal kolommen van A is dus gelijk aan het aantal rijen van B (in dit geval p).
De productmatrix  A B  is de  mn matrix C = (cij), waarvan je de matrixelementen cij krijgt door de i-e rij van A te vermenigvuldigen met de j-e kolom van B. De matrixelementen cij van C bereken je dus als volgt:

cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ..... + aipbpj   voor i = 1, 2, ..., m en j = 1, 2, ..., n

of in verkorte notatie

  p

cij =


 k =1

 aikbkj voor i = 1, 2, ..., m en j = 1, 2, ..., n

In onderstaande figuur is dit in beeld gebracht.

a11 a12 . a1k . a1p
a21 a22 . . . a2p
. . .
ai1 . . aik . aip
. . .
am1 am2 . amk . amp
 
b11 b12 . b1j . b1n
b21 b22 . . . b2n
. . .
bk1 . . bkj . bkn
. . .
bp1 bp2 . bpj . bpn
 = 
c11 c12 . c1j . c1n
c21 c22 . . . c2n
. . .
ci1 . . cij . cin
. . .
cm1 cm2 . cmj . cmn

In het online computerprogramma "Matrixbewerkingen op Internet" wordt het vermenigvuldigen van matrices in een rechthoekig schema weergegeven, zie onderstaande figuur, zodat je precies kunt volgen hoe het programma te werk gaat. Hierin kun je de matrixelementen van A en B invullen en worden meteen de matrixelementen van matrix C uitgerekend en aangepast.

A B = C

b11 b12 . . b1j . b1n
b21 b22 . . . . b2n
. . .
. . .
bk1 . . . bkj . bkn
. . .
bp1 bp2 . . bpj . bpn
B  
A =
a11 a12 . . a1k . a1p
a21 a22 . . . . a2p
. . .
. . .
ai1 . . . aik . aip
. . .
am1 am2 . . amk . amp
c11 c12 . . c1j . c1n
c21 c22 . . . . c2n
. . .
. . .
ci1 . . . cij . cin
. . .
cm1 cm2 . . cmj . cmn
= A B = C

  p

cij =


 k =1

 aikbkj voor i = 1, 2, ..., m en j = 1, 2, ..., n

Door de matrix B rechts boven A te plaatsen kun je goed zien hoe de  berekening gaat, dus welke rij van A met welke kolom van B vermenigvuldigd wordt om het matrixelement cij te krijgen. Bovendien kun je goed zien dat het aantal kolommen van A gelijk moet zijn aan het aantal rijen van B om de vermenigvuldiging uit te kunnen voeren.

Omhoog


Associatieve en distributieve eigenschappen
Door de manier waarop het vermenigvuldigen van matrices gedefinieerd is gelden voor matrices A, B en C de volgende eigenschappen:

  1. Als de afmetingen van A, B en C zodanig zijn dat A (B C) en (A B) C betekenis hebben, dan geldt:

     A (B C) = (A B) C ( associatieve eigenschap)
      

  2. Stel dat A en B dezelfde afmeting hebben. Als  A C en B C  betekenis hebben, dan geldt:

    (A + B) C = A C + B C ( rechter distributieve eigenschap)
       

  3. Stel dat A en B dezelfde afmeting hebben. Als  C A en C B  betekenis hebben, dan geldt:

    C (A + B) = C A + C B ( linker distributieve eigenschap)
      

  4. Voor de getransponeerde van het product A B geldt

    (A B)T = BT AT  (Let op de volgorde!)

Deze eigenschappen worden hier zonder bewijs vermeld.

Omhoog


Kolomeigenschappen
Bekijken we nogmaals het rechthoekig schema waarin de matrixvermenigvuldiging A B = C is weergegeven

A B = C

b11 b12 . . b1j . b1n
b21 b22 . . . . b2n
. . .
. . .
bk1 . . . bkj . bkn
. . .
bp1 bp2 . . bpj . bpn
B  
A =
a11 a12 . . a1k . a1p
a21 a22 . . . . a2p
. . .
. . .
ai1 . . . aik . aip
. . .
am1 am2 . . amk . amp
c11 c12 . . c1j . c1n
c21 c22 . . . . c2n
. . .
. . .
ci1 . . . cij . cin
. . .
cm1 cm2 . . cmj . cmn
= A B = C

waarbij cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ..... + aipbpj   voor i = 1, 2, ..., m en j = 1, 2, ..., n dan is gemakkelijk na te gaan dat de volgende kolom-eigenschappen gelden:

  • Als we twee kolommen in matrix B verwisselen dan verwisselen ook de overeenkomstige kolommen in de antwoordmatrix C.

  • Als we de j-de kolom van matrix B met een getal vermenigvuldigen dan wordt ook de j-de kolom van de antwoordmatrix C met vermenigvuldigd.

  • Tellen we bij de j-de kolom van B een -voud van de l-de kolom van B op dan wordt ook bij de  j-de kolom van C het -voud van de l-de kolom van C opgeteld.

We noemen dit elementaire kolom-operaties. De kolom-eigenschappen volgen direct uit de manier waarop matrixvermenigvuldiging gedefinieerd is en zijn van groot belang bij het bepalen van de inverse matrix A-1 van een vierkante matrix A.  Zie hiervoor het onderwerp Inverse matrix.

Omhoog


Rij-eigenschappen
Bekijken we nogmaals het rechthoekig schema waarin de matrixvermenigvuldiging A B = C is weergegeven

A B = C

b11 b12 . . b1j . b1n
b21 b22 . . . . b2n
. . .
. . .
bk1 . . . bkj . bkn
. . .
bp1 bp2 . . bpj . bpn
B  
A =
a11 a12 . . a1k . a1p
a21 a22 . . . . a2p
. . .
. . .
ai1 . . . aik . aip
. . .
am1 am2 . . amk . amp
c11 c12 . . c1j . c1n
c21 c22 . . . . c2n
. . .
. . .
ci1 . . . cij . cin
. . .
cm1 cm2 . . cmj . cmn
= A B = C

waarbij cij = ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + ..... + aipbpj   voor i = 1, 2, ..., m en j = 1, 2, ..., n dan is gemakkelijk na te gaan dat de volgende rij-eigenschappen gelden:

  • Als we twee rijen in matrix A verwisselen dan verwisselen ook de overeenkomstige rijen in matrix C.

  • Als we de i-de rij van matrix A met een getal vermenigvuldigen dan wordt ook de de i-de rij van C met vermenigvuldigd.

  • Tellen we bij de i-de rij van A een -voud van de l-de rij van A op, dan wordt ook bij de  i-de rij van C het -voud van de l-de rij van C opgeteld.

We noemen dit elementaire rij-operaties. De rij-eigenschappen volgen direct uit de manier waarop matrixvermenigvuldiging gedefinieerd is en zijn van groot belang bij het bepalen van de inverse matrix B-1 van een vierkante matrix B.  Zie hiervoor het onderwerp Inverse matrix.

Omhoog


Voorbeeld 1

Stel A = 

 1  2 -3
-1  0  4
 en B = 
 4  6
 5 -1
 0  2

Omdat A een 2 ◊ 3 matrix en B een 3 ◊ 2 matrix is, is het product C = A B een 2 ◊ 2 matrix.

C = A B = 

c11 c12
c21 c22
 = 
 14 -2
 -4  2

De matrixelementen van C = A B worden als volgt berekend:

c11 = 4 1 + 5 2 + 0 -3 = 14
   
c21 = 4 -1 + 5 0 + 0 4 = -4

c12 = 6 1 + -1 2 + 2 -3 = -2
    
c22 = 6 -1 + -1 0 + 2 4 = 2

Ga dit voorbeeld met onderstaand programma na!.

Voorbeeld 2

Stel A = 

 2  1  3
 1  2  4
 en B = 
 2
-1
-2

Hier is A een 2 ◊ 3 matrix en B een 3 ◊ 1 matrix. Dus het product C = A B is een 2 ◊ 1 matrix.

C = A B = 

c11
c21
 = 
-3
-8

De matrixelementen van C = A B worden als volgt berekend:

c11 = 2 2 + -1 1 + -2 3 = -3
   
c21 = 2 1 + -1 2 + -2 4 = -8

Ga dit voorbeeld met onderstaand programma na!.

Voorbeeld 3

Als A en B beide vierkante matrices met dezelfde afmeting zijn, bestaan zowel A B als B A.

Stel A = 

 1  2
-1  3
 en B = 
 3  5
 4  2

We vinden:

A B = 

11  9
 9  1
 en  B A = 
-2 21
 2 14
 Ga dit met onderstaand programma na!

Dit voorbeeld laat zien dat  A B B A. Als A B = B A dan zeggen we dat A en B commuteren.

Voorbeeld 4

Als I een pp eenheidsmatrix is, dan is I A = A voor elke pn matrix A, en B I = B voor elke  m ◊ p matrix B. Bijvoorbeeld:

 

1 0 0
0 1 0
0 0 1
 ∑
4
2
3
 = 
4
2
3
,      
 2  1  3
 1  2  4
 ∑
1 0 0
0 1 0
0 0 1
 = 
 2  1  3
 1  2  4
.

Ga dit voorbeeld met onderstaand programma na!.

Omhoog


Het programma (programma-handleiding)



Disclaimer:
 Browsers sometimes crash when running computation-intensive ActiveX controls.
 Make sure your important work is saved before running this utility.

Omhoog


Opgave 1

Gegeven zijn:

A = 

 1 -4  2
-1  4 -2
B = 
 1  2
-1  3
 5 -2
 en C = 
 4  6
 5 -1
 0  2

Bereken met bovenstaand programmaB + C,   A B,   B A,   A C,   C A,   A(2B - 3C).

Tip: Sla tussenantwoorden op schijf op.

Opgave 2

Bereken met bovenstaand programma  A B -  B A voor de volgende gevallen

a)  A = 

 1  2  2
 2  1  2
 1  2  3
B = 
 4  1  1
-4  2  0
 1  2  1
 

b)  A = 

 2  0  0
 1  1  2
-1  2  1
B = 
 3  1 -2
 3 -2  4
-3  5 11

Tip: Sla tussenantwoorden op schijf op.


Omhoog

Wiskunde online ----- is speciaal ontworpen voor:
Microsoft  Internet Explorer 5.5 of hoger
Beeldschermresolutie minimaal 800◊600
JavaScript-Interpretatie ingeschakeld!
Bijgewerkt: