Lemniscaat is een Grieks woord
dat bloemenguirlande betekent en gebruikt werd wanneer een
overwinnaar na een gevecht onthaald werd. De guirlande omgaf
het hoofd, kruiste in de hartstreek en had zijn benedenlus
rond het onderlijf.
De Engelse wiskundige John
Wallis (1616-1703) introduceerde het symbool als de ‘wiskundige
oneindigheid’.
Jacob
Bernoulli noemde het symbool als eerste ‘Lemniscus’,
een Latijns woord voor onderscheiding.
Het symbool komt ook voor in de
serie van de Tarotkaarten: de eerste kaart van de Major
Arcana, de Magiër. Deze magiër heeft boven zijn hoofd de
lemniscaat staan, als teken van de lagere en hogere spirituele
krachten, de verbinding tussen het stoffelijke en het
onstoffelijke.
De Lemniscaat symboliseert voor
sommigen het evenwicht tussen, en het ineengrijpen van het
geestelijke en het stoffelijke.
Maar
nu ter zake! De
verzameling van alle mogelijke punten P, zie figuur 1, met
de eigenschap PS1· PS2 = a2
met a0
vormt precies een lemniscaat met de vergelijking:
K:
(x2 + y2)2 = 2a2(x2
- y2)
Het lemniscaat
werd in 1694 door Jacob
Bernoulli geïntroduceerd. Via pogingen om van allerlei
krommen de booglengte te berekenen ging het lemniscaat in de
achttiende eeuw een belangrijke rol spelen bij de ontwikkeling van
de integraalrekening.
Bewijs:
Uit PS1·
PS2 = a2
volgt PS12· PS22
= a4. Hiermee gaan we verder.
Er geldt: PS12 = (x
+ a)2 + y2
en PS22 = (x
- a)2
+ y2 ( Stelling van Pythagoras!
)
Dus moet gelden: ((x -
a)2 + y2)·((x
+ a)2 + y2) = a4
Maar er valt een heleboel tegen elkaar
weg! Gelijksoortige termen bij elkaar optellen en verder
herleiden. We weten tenslotte waar we op uit willen komen.
Om deze vergelijking tot een
parametervoorstelling om te bouwen moeten we ook nog enig werk
verrichten. Als tussenstap zetten we de vergelijking eerst om in
een poolvergelijking. In het algemeen geldt: r = f ()
, waarin r = OP en
de hoek die r met de positieve x-as maakt. Zie Figuur 2.
Volgens de
stelling van Pythagoras geldt dat r2 = x2
+ y2 (1) en dat is nu juist een term die
ook in de vergelijking van het lemniscaat (x2
+ y2)2 = 2a2(x2
-y2)
(2) voorkomt. We mogen dus van geluk spreken. We zijn er bijna.
Uit (1) en (2) volgt:
r4
= 2a2(x2 -y2)
We
hebben echter r nog steeds niet als functie van de hoek .
Dit is geen probleem! Er geldt namelijk x = r cos()
en y = r sin ()
en dus
Deel beide leden
door r2 en je krijgt r2
= 2a2(cos()2
-sin()2).
Nu nog een beetje goniometrie en de formule ziet er goed uit. We
weten namelijk dat cos(2)
= cos()2
-sin ()2
. Na substitutie krijgen we uiteindelijk
r2
= 2a2cos(2)
en dus
Parametervoorstelling Het is vrij eenvoudig om van een poolvergelijking een
parametervoorstelling te maken. Er geldt immers x
= r cos()
en y = r sin ()
en dus wordt de parametervoorstelling van het lemniscaat van
Bernoulli:
x(t)
= cos(t)
y(t) = sin(t)
voor 0t
2
K:
Ga het volgende
voorbeeld met het onderstaande programma na. Onderaan deze
webpagina staan een aantal opgaven
die je met dit programma kunt oplossen. Voordat je aan de slag
gaat kun je, als je dat nog niet gedaan hebt, desgewenst de
volgende onderwerpen doornemen:
Bij het programma
"Parameterkrommen op Internet" moet je anders
dan bij "Functies en Grafieken op Internet" voor
de variabele (parameter) i.p.v. de letter x de
letter t gebruiken. Dit omdat bij parameterkrommen
de variabele vaak de tijd t is.
Voorbeeld
Gegeven is het volgende lemniscaat:
x(t)
= cos(t)
y(t) = sin(t)
voor a =
5 en 0t
2
K-1:
We bekijken de
kromme voor t
[0; 2],
dus tmin = 0 en tmax = 2.
De kromme wordt dan precies éénmaal doorlopen. We nemen
voor het interval op de x-as [10;
10], dus Xmin = 10
en Xmax = 10. Voor het interval op de y-as
kiezen we [10;
10], dus Ymin = 10
en Ymax = 10.
De
computernotatie voor x(t) = a sqrt(2cos(2t))cos(t)
De computernotatie voor y(t) = a sqrt(2cos(2t))sin(t)
Opdracht
Ga na hoe ( in welke richting) het punt P(x(t),
y(t)) de kromme doorloopt als 0t
2.
Voor welke waarden van t bestaat de kromme niet? Wat valt
je hierbij op?
Voer in
onderstaand programma bij kromme K-1 de
parametervoorstelling en de overige gegevens handmatig of met
een klik op de in
Tekst
en uitleg
Na het invoeren van de gegevens zie je meteen dat de kromme in de
oorsprong een discontinuïteit vertoont. Wat is hier de oorzaak
van? Wel, in de parametervoorstelling van zowel x(t)
als y(t) komt de wortelfactor sqrt(2cos(2t))
voor. Deze factor is niet gedefinieerd voor die waarden van t
waarvoor 2cos(2t)0.
Om goed in beeld te kijgen voor welke waarden van t de
kromme niet bestaat en hoe het punt P(x(t), y(t))
in verband hiermee de kromme doorloopt tekenen we ook de functie f (t) = 2cos(2t).
Dit doen we door voor kromme K-2 de volgende
parametervoorstelling in te voeren.
x(t)
= t
y(t) = 2cos(2t)
voor 0t
2
K-2:
Voer in het
programma bij kromme K-2 deze parametervoorstelling
handmatig of met een klik op de in. Je
ziet dan dat f (t)0
voor t
en 1t
1.
Nu gaan we kijken
hoe punt P(x(t), y(t)) de
kromme doorloopt als t varieert van 0 tot 2.
Vul voor de parameter t = 0 en voor de stapgrootte st
= pi/32 in. Vink voor zowel de kromme K-1 als K-2 de
x(t)- en y(t)-haarlijn aan. Varieer nu
t m.b.v. de Up/Down knop van 0 tot 2.
Maak op papier een schets van de kromme en geef de richting aan
waarin het punt P(x(t), y(t))
de kromme doorloopt zet de bijbehorende waarden van t
erbij. Je moet dan iets krijgen zoals in Figuur 3.
Opgaven
Gegeven is de
kromme K: (x2 + y2)2
= 12(x2 -
y2).
Stel de
poolvergelijking van de kromme op.
Stel de
parametervoorstelling van de kromme op.
Voer de
gegevens in het programma "Parameterkrommen op
Internet" in. "Bepaal de coördinaten van de
snijpunten van K met de x-as en de y-as.
Kies geschikte intervallen op de x-as en de y-as.
Voor
welke p
heeft de lijn y = px drie verschillende
punten met K gemeenschappelijk? Benader je antwoord
in twee decimalen.
In
welke punten van K is de raaklijn evenwijdig aan de
x-as of aan de y-as? Geef de coördinaten in
twee decimalen. Geef ook de bijbehorende waard(en) van t
in twee decimalen.
Gegeven is de
kromme K: (x2 + y2)2
= 5y(3x2 -
y2).
Stel de
poolvergelijking van de kromme op.
Stel de
parametervoorstelling van de kromme op.
Voer de
gegevens in het programma "Parameterkrommen op
Internet" in. "Bepaal de coördinaten van de
snijpunten van K met de x-as en de y-as.
Kies geschikte intervallen op de x-as en de y-as.
Voor
welke p
heeft de lijn x = p 1, 2, 3 of 4
verschillende punten met K gemeenschappelijk?
Benader je antwoord in twee decimalen.
In
welke punten van K is de raaklijn evenwijdig aan de
x-as of aan de y-as? Geef de coördinaten in
twee decimalen. Geef ook de bijbehorende waard(en) van t
in twee decimalen.
Wiskunde online ----- is speciaal ontworpen voor:
Microsoft
Internet Explorer 5.5 of hoger
Beeldschermresolutie minimaal 800×600
JavaScript-Interpretatie ingeschakeld!
Bijgewerkt:
De
verzameling van alle mogelijke punten P, zie figuur 1, met
de eigenschap PS1· PS2 = a2
met a
0
vormt precies een lemniscaat met de vergelijking:
)
, waarin r = OP en 
cos(t)
t
Let
op!
[0; 2
10;
10], dus
0.
Om goed in beeld te kijgen voor welke waarden van t de
kromme niet bestaat en hoe het punt P(x(t), y(t))
in verband hiermee de kromme doorloopt tekenen we ook de functie f (t) = 2cos(2t).
Dit doen we door voor kromme K-2 de volgende
parametervoorstelling in te voeren.
Up/Down knop van 0 tot 2
heeft de lijn y = px drie verschillende
punten met K gemeenschappelijk? Benader je antwoord
in twee decimalen.