Home   Lessen online Functies en Grafieken Onderwerpen  
kader_rand
Startpagina
Bravenet

DifferentiŽren


Inleiding
Bij de grafiek van een gegeven functie f (x) kun je bij elke waarde van x de helling van de raaklijn in het bijbehorende punt van de grafiek toevoegen. Zo krijg je een nieuwe functie, die we heel toepasselijk de hellingsfunctie noemen. In veel wiskundeboeken wordt in plaats van het woord hellingsfunctie de term 'afgeleide functie' gebruikt. De wiskundige notatie hiervan is f '(x) om aan te geven dat deze functie afgeleid is van f (x). Bij Helling en raaklijn hebben we al gezien dat we de helling van de raaklijn kunnen uitrekenen met de limiet:

f '(x) = =

In plaats van f '(x) wordt ook wel de notatie of gebruikt. Het berekenen van de afgeleide functie heet differentiŽren. Omdat het niet erg handig is om steeds voor iedere functie bij elk punt P(x, y) van de grafiek deze limiet uit te moeten rekenen, hebben we een aantal regels waarmee we functies kunnen differentiŽren. Het onderstaande computerprogramma rekent automatisch volgens deze regels de afgeleide functie f '(x) voor ons uit. Desgewenst kun je ook de grafiek van f '(x) laten tekenen.

Ga het volgende voorbeeld met het onderstaande programma na. Onderaan deze webpagina staat een opgave die je met het grafiekenprogramma kunt oplossen. Voordat je aan de slag gaat kun je, als je dat nog niet gedaan hebt,  desgewenst de volgende onderwerpen doornemen:


Voorbeeld
Als voorbeeld nemen we een derdegraadsfunctie f (x) = x3 x2 3x + 2. De computernotatie van deze functie is: f (x) = x^3 x^2 3x+2. Voor het interval op de x-as nemen we [5; 5], dus Xmin = 5 en Xmax = 5. Op de y-as nemen we het interval [5; 5], dus Ymin = 5 en Ymax = 5. Schakel het programma naar Mode 3, zodat ook de afgeleide functie f '(x) in beeld komt. Om ook deze grafiek in beeld te krijgen vink je de checkbox bij Grafiek  f '(x) aan.

Voer in onderstaand programma het functievoorschrift en de overige gegevens handmatig of met een klik op de  in.



Je ziet na het invoeren van de gegevens dat de grafiek van deze functie een derdegraadskromme is. Het programma heeft het functievoorschrift van de afgeleide functie berekend:

f '(x) =  3x^2 2x 3

De grafiek van f '(x) is een dalparabool. We gaan het verband tussen de grafiek van f (x) en f '(x) onderzoeken.

Vul voor x = 2 en sx = 0.01 in. Vink de x-haarlijn en de f (x)-haarlijn aan om het bijbehorende punt (x, f (x)) op de grafiek te markeren. Vink ook de raaklijn in (x, f (x)) aan.

We zien dat f (2) = 4 en de helling van de raaklijn is f '(2) = = 13. Verhoog nu de waarde van x stapsgewijs met de Up/Down knop en let op het verband tussen de stand van de raaklijn en de waarde van . Er zijn een paar belangrijke zaken die opvallen:

  • Daar waar de grafiek van f (x) omhoog loopt is 0

  •   = 0 in het maximum en het minimum van de grafiek van f (x)

  • Daar waar de grafiek van f (x) omlaag loopt is 0

  • Het minimum van correspondeert met het buigpunt in f (x).

- Het begrip "stijgend"
Als f '(xA) 0 in het punt A (xA, yA ) dan noemen we f (x) stijgend in in het punt A (xA, yA ).

- Het begrip "dalend"
Als f '(xA) 0  in het punt A (xA, yA ) dan noemen we f (x) dalend in het punt A (xA, yA ).

- Het begrip "uiterste waarde"
Als f '(xA) = 0 kan de functie in A (xA, yA ) stijgend of dalend zijn maar er kan ook sprake van een maximum of een minimum zijn.


Opgave

a)  Bepaal met het programma de gemiddelde helling van f (x) = log x op het interval [0.5; 2].

b)  Bepaal de helling van de raaklijn voor x = l en geef ook de coŲrdinaten van het raakpunt.

Middelwaardestelling
Er is een stelling die zegt dat als f (x) voor elke x op een interval differentieerbaar is, er op dit interval minstens ťťn punt P moet waarin geldt dat f (xP) gelijk is aan de gemiddelde helling van f (x) op dit interval. Deze stelling heet de middelwaardestelling.

c)  Probeer dit punt op het interval [0.5; 2] te benaderen.


Omhoog

Wiskunde online ----- is speciaal ontworpen voor:
Microsoft  Internet Explorer 5.5 of hoger
Beeldschermresolutie minimaal 800◊600
JavaScript-Interpretatie ingeschakeld!
Bijgewerkt: