linker hoekje rechter hoekje

Het Binomium van Newton


Inleiding
De merkwaardige producten

  • (a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
        

  • (a - b)2 = (a - b)(a - b) = a2 - 2ab + b2  
      

  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
     

  • (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

zijn bijzondere gevallen van het Binomium van Newton, dat luidt:

(a + b)n  an- p b p   waarbij 
 = 
n!
 p!(n - p)!
 en  a, b 0 ( zie verderop )

Hierbij is n een natuurlijk getal met n = 1, 2, 3, ∑ ∑ ∑. Het is zeer leerzaam om het bewijs van het Binomium van Newton nauwkeurig en stap voor stap na te lopen, zodanig dat je het volledig begrijpt. Je leert daarbij het somteken te gebruiken, de eigenschappen van binomiaalcoŽfficiŽnten en het principe van de volledige inductie. Kortom je maakt je hierbij een aantal belangrijke wiskundige vaardigheden eigen.


BinomiaalcoŽfficiŽnten
Bij het Binomium van Newton spelen binomiaalcoŽfficiŽnten en de eigenschappen daarvan een belangrijke rol. Daarom geven wij eerst een korte samenvatting van de noodzakelijke kennis om het Binomium van Newton te kunnen begrijpen.
   


Definitie
Stel n is een natuurlijk getal, dus n { 0, 1, 2, ∑ ∑ ∑ }.
Voor een natuurlijk getal n 1 is n faculteit, genoteerd n!, gedefinieerd als het product van de getallen van 1 tot en met n:

n! = 1 2 ∑ ∑ ∑ (n - 1) n

Verder spreken we af dat 0! = 1.

Voorbeeld: 5! = 1 2 3 4 5 = 120


Definitie

De grootheid 

 gedefinieerd door   = 
n!
 p!(n - p)!
 noemt men binomiaalcoŽfficiŽnt.

Hierbij is p { 0, 1, 2, ∑ ∑ ∑ , n - 1, n}.

De notatie 

 wordt uitgesproken als n boven p

    

Voorbeeld 1: 

 = 
7!
 2!(7 - 2)!
 = 
7!
 2! 5!
 = 
7 6 5!
 2! 5!
 = 
7 6
 2 1
 = 21

Voorbeeld 2: 

 = 
0!
 0!(0 - 0)!
 = 
0!
 0! 0!
 = 
1
 1 1
 =  1

Voorbeeld 3: 

 = 
 n!
 0!(n - 0)!
 = 
n!
 1 n!
 = 
n!
n!
 =  1

Voorbeeld 4: 

 = 
n!
 n!(n - n)!
 = 
n!
 n! 0!
 = 
n!
 n! 1
 = 
n!
n!
 = 1

We vermelden hier enkele belangrijke eigenschappen van de binomiaalcoŽfficiŽnten:

1.

  
 =
  (symmetrie)   Zie bewijs
 

2.

 +  =
  (optelregel)          Zie bewijs
 

3.

 =
 n - p + 1 
 p
 
Zie bewijs

Voor het bewijs van deze eigenschappen wordt verwezen naar de Appendix.

De optelregel (Eigenschap 2) hebben we nodig bij het bewijs van het Binomium van Newton.

Omhoog


Bewijzen m.b.v. volledige inductie
Stel we moeten een formule bewijzen (zoals het Binomium van Newton) waarin het natuurlijk getal n voorkomt, waarbij  n = 1, 2, 3, ∑ ∑ ∑.  We willen aantonen dat de formule geldig is voor alle waarden van n. Je zou de formule kunnen verifiŽren voor n = 1, n = 2 tot en met n = 10.000. Zou de formule dan telkens kloppen dan zou je geneigd zijn aan te nemen dat de formule juist is voor alle waarden van n. Je weet dit echter niet zeker! Met het principe van de volledige inductie kunnen we de formule bewijzen voor alle n.

Het bewijs bestaat uit twee stappen die we aanduiden met I en II.

  1. Bewijs dat de formule juist is voor n = 1.

  2. Neem aan dat de formule juist is voor n = m. Als daaruit volgt dat de formule ook juist is voor n = m + 1, dan is de formule juist voor alle waarden van n.

Immers als de formule juist is voor n = 1, dan is hij volgens stap II ook juist voor n = 2. Maar dan ook voor n = 3 enzovoort. Dit noemen we inductie.

In de wiskunde wordt veel gebruik gemaakt van het principe van de volledige inductie om stellingen te bewijzen waarin het natuurlijk getal n voorkomt.

Omhoog


Het Binomium van Newton
Zij n een natuurlijk getal met n = 1, 2, 3, ∑ ∑ ∑ dan geldt voor a, b 0:

(a + b)n

an +   an-1b1 +   an-2b2 +  ∑ +   a1bn-1 + bn 

In verkorte vorm, gebruik makende van het somteken

(a + b)n

an +   an- p b p  + bn
 

Omdat 

1   en a0 = b0 = 1 kunnen we ook schrijven:
 

(a + b)n

 anb0 +   an- p b p    a0bn

en zo krijgen we de notatie van het Binomium van Newton zoals wij dat in wiskundeboeken tegenkomen:

(a + b)n

 an- p b p

Bewijs
We geven het bewijs m.b.v. het principe van de volledige inductie.Eerst tonen we aan dat de formule juist is voor n = 1. Gemakkelijk is na te gaan dat:

(a + b)1

 a1- p b p a + b 

We nemen nu aan dat de formule juist is voor n = m en gaan bewijzen dat daaruit volgt dat de formule ook juist is voor n = m +1. Er geldt:

(a + b)m + 1

   (a + b)(a + b)m
 
   a(a + b)m + b(a + b)m
 
 a  am- p b p +   b  am- p b p
 
 a1- p b p +   am- p b p + 1
          (1)

We gaan nu bewijzen dat:

 a1- p b p +   am- p b p 1
 a1- p b p
 
 

We beschouwen de eerste term van (1): 

 am + 1- p b p
.

Er geldt:
   

  

 

 am + 1- p b p
am + 1 +  
 am + 1- p b p
                              (2)
 
 

We beschouwen nu de tweede term van (1): 

 am- p b p + 1
     (3)

Stel p + 1 = q dan is p = q - 1. Vervangen we in (3)  p door q - 1 dan gaat het somteken
 

 over in  , terwijl  am- p b p + 1 = am + 1- q bq  en   =  .

We krijgen dan

  
 am- p b p + 1
 a+ 1- q bq
  
 am + 1- q bq  + b+ 1
 

Stel nu in het rechterlid q = p. Dit geeft:

 
 am- p b p + 1
 a+ 1- p b p  + b+ 1
                         (4)

Uit (2) en (4) volgt:

(a + b)+ 1

am + 1 + 
 am + 1- p b p
 
 
                           +   a+ 1- p b p  + b+ 1
 
a+ 1 +   +  am + 1- p b p  + b+ 1
   Optelregel                
a+ 1 +   am + 1- p b p  + b+ 1
    
 a+ 1- p b p

Hetgeen te bewijzen viel!

Omhoog


Opgaven

1. Bewijs dat (a - b)n

 (-1)pan- p b p

Aanwijzing: (a - b)n = (a + (- b))n

2. Bereken m.b.v. het Binomium van Newton:

  1. (a + b)4

  2. (a - b)4  

  3. (a + b)5 

  4. (a - b)5

3. Bewijs dat 2n

Aanwijzing: Neem in het Binomium van Newton  a = 1 en b = 1

Omhoog


Appendix


    Het bewijs van de symmetrie eigenschap:   =  . Volgens de definitie geldt:

 

 

 =  
 n!
 (n - p)!(n - (n - p))!
 
 =  
 n!
 (n - p)!(n - n + p)!
 
 =  
 n!
 (n - p)!p!
 
 =  
 n!
 p!(n - p)!
 
 =  

Hetgeen te bewijzen viel!


    Het bewijs van de optelregel:   +   = 

  

    We beschouwen eerst de term:  . Er geldt:

 

 

 =  
n!
 p!(n - p)!
 
 =  
 n + 1 - p     (n + 1)n!
n + 1  p!(n + 1 - p)(n - p)!
 
 =  
 n + 1 - p     (n + 1)!
n + 1  p!(n + 1 - p)!
 
 =  
 n + 1 - p   
n + 1
                                                (1)

 

    We beschouwen nu de term:  . Volgens de definitie geldt:

 

 

 =  
n!
 ( p - 1)!(n - (p - 1))!
 
 =  
  p     (n + 1)n!
 n + 1  p( p - 1)!(n + 1 - p)!
 
 =  
  p     (n + 1)!
 n + 1  p!(n + 1 - p)!
  
 =  
  p   
 n + 1
                                                (2)

Uit (1) en (2) volgt:   

 

 +    =  
  p     +    n + 1 - p   
 n + 1 n + 1
 
 = 
  p  +    n + 1 - p   
 n + 1 n + 1
 
 = 
 p + n + 1 - p   
 n + 1
 
 = 
 n + 1   
 n + 1
 
 = 
  
 
     = 

Hetgeen te bewijzen viel!


Het bewijs van de regel: 

 = 
 n - p + 1 
 p
 

 

    We beschouwen de term:  . Volgens de definitie geldt:

 

 

 =  
n!
 p!(n - p)!
 
 =  
(n + 1 - p)n!
 p( p - 1)!(n + 1 - p)(n - p)!
 
 =  
  (n + 1 - p)    n!
p  ( p - 1)!(n + 1 - p)!
 
 =  
  (n + 1 - p)    n!
p  ( p - 1)!(n - (p - 1))!
  
 =  
  (n + 1 - p)   
p
                                               

Hetgeen te bewijzen viel!


Omhoog