linker hoekje rechter hoekje

Merkwaardige producten

1. Inleiding

Merkwaardige producten zijn enkele producten uit de algebra, die zeer veel voorkomen en om hun symmetrisch uiterlijk bekend zijn en daarom merkwaardig genoemd worden. Omdat je in de wiskunde deze producten zo vaak tegenkomt loont het de moeite de uitkomsten ervan uit je hoofd te leren.

De vijf bekendste zijn:

  • (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
        
  • (a b)(a b) = a2  2ab + b2
       
  • (a + b)(a b) = a2  b2
      
  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
     
  • (a b)3 = a3  3a2b + 3ab2  b3

De term 2ab die je in de eerste twee merkwaardige producten tegenkomt, heeft de toepasselijke naam "dubbelproduct", dus 2 × het product van a en b.

Let op! Het dubbelproduct wordt door een heleboel dummies vaak vergeten! Maak die fout dus zelf nooit.

De eerste twee merkwaardige producten kom je ook vaak tegen in de vorm (a + b)2 en (a  b)2. In deze les gaan we de eerste drie merkwaardige producten m.b.v. een animatie afleiden.

Omhoog


2. Het merkwaardig product (a + b)(a + b) of (a + b)2
Om de uitkomst van dit merkwaardig product te begrijpen kunnen we natuurlijk gewoon de haakjes wegwerken, zoals we in één van de vorige lessen geleerd hebben. Maar het is ook wel leuk om dit met een animatie met oppervlakten te doen. Bij dit voorbeeld gaan we er voor het gemak even van uit dat a en b positieve getallen zijn, omdat we anders niet met oppervlakten kunnen werken. We tekenen een vierkant met breedte a + b en lengte a + b. De oppervlakte van dit vierkant is gelijk aan het merkwaardig product (a + b)(a + b) = (a + b)2. Dit vierkant verdelen we in twee kleinere vierkanten van a bij a en  b bij b, en twee rechthoeken van a bij b
In onderstaande animatie kun je stap voor stap zien dat (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.

Elke gedachtenstap blijft een aantal seconden in beeld.


Conclusie:   (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Let op! Deze regel geldt ook als a of b negatieve getallen zijn

In onderstaande animatie wordt ook nog voorgedaan hoe het gaat als je gewoon de haakjes wegwerkt. Je weet dat (a + b)2 = (a + b)(a + b). Je hoeft dus alleen maar de haakjes in het product (a + b)(a + b) weg te werken.

Elke gedachtenstap blijft een aantal seconden in beeld.

Omhoog


Opgaven
    
Bereken:

  1. (2a + 5b)2 = ...

  2. (p + 3q)2 = ...

  3. (p 2q)2 = ...

  4. (2a 5b)2 = ...

  5. (2a + 5b)(2a 5b) = ...

  6. (p + 3q)(p 3q) = ...

Antwoorden en uitwerkingen

Omhoog