Home   Lessen online Functies en Grafieken Onderwerpen  
kader_rand
Startpagina
Bravenet

Parabolen


Inleiding
Er zijn twee standaardformules voor de grafiek van een parabool in omloop:

(1)   y = ax2 + bx + c
       of
(2)   y = a(x   p)2 + q

Beide formules geven een kwadratisch verband tussen x en y. De getallen ab en c in formule (1) en ap en q in formule (2) noemen we ook wel parameters. Parameters zijn hulpvariabelen waarmee je oneindig veel formules kort kunt noteren. Als je voor de deze parameters getallen invult krijg je de formule van een bepaalde parabool. Beide formules hebben zo hun eigen voor- en nadelen.

  • Formule (1) is het meest geschikt om met de  abc-formule  te werken. Met de abc-formule bereken je de nulpunten, de x-coŲrdinaten van de snijpunten van de grafiek met de x-as. De coŲrdinaten van de top T (xtop, ytop) kun je niet direct uit de formule aflezen. Wel kun je uit de formule meteen zonder berekening het snijpunt S met de y-as aflezen. Dit is het punt S(0, c). Ga dit aan de hand van de formule (1)  na.

  • Bij formule (2) kun je wel direct zonder berekening de coŲrdinaten van de top aflezen. Er geldt xtop = p en ytop = q. De top is dus T(pq). Ga dit aan de hand van formule (2) na. Het snijpunt met de y-as vind je door in de formule x = 0 in te vullen. Als je bij formule (2) met de abc-formule de nulpunten wilt bepalen, moet je deze formule eerst herleiden tot de vorm van formule (1). Dit doe je door de haakjes weg te werken.

Een parabool heeft een viertal belangrijke eigenschappen:

  • Een dal- of een bergparabool. Dit wordt bepaald door de parameter a. Als a  0 dan krijg je een dalparabool. Als a  0 dan krijg je een bergparabool. Dit geldt zowel voor formule (1) als voor formule (2).

  • De wijdheid van de parabool wordt ook bepaald door de parameter a. Ga je in de grafiek vanuit de top 1 naar rechts, dan ga je a omhoog of omlaag, al naar gelang a positief of negatief is. Omhoog bij een dal- en omlaag bij een bergparabool. Hoe dichter a bij 0, hoe wijder dus de parabool

  • De plaats van de top. Bij formule (1) geldt xtop =   en ytop = c en bij formule (2)  xtop = p en ytop = q.

  • De snijpunten van de grafiek met de x-as. Hierbij gebruik je de abc-formule. Er zijn lang niet altijd snijpunten met de x-as. Een bergparabool waarvan de top onder de x-as ligt heeft uiteraard geen nulpunten.

Ga het volgende voorbeeld met het onderstaande programma na. Onderaan deze webpagina staan opgaven die je met het grafiekenprogramma kunt oplossen. Voordat je aan de slag gaat kun je, als je dat nog niet gedaan hebt,  desgewenst de volgende onderwerpen doornemen:


Voorbeeld
In het onderstaande computerprogramma wordt in plaats van met formules, met functievoorschriften gewerkt. We gaan de grafieken van de volgende twee functievoorschriften met elkaar vergelijken:

 f (x) = ax2 + bx + c
g (x) = a(x p)2 + q

Voor het interval op de x-as kiezen we [5; 5]dus Xmin = 5 en Xmax = 5. Voor het interval op de y-as nemen we [5; 5], dus Ymin = 5 en Ymax = 5. Schakel het programma naar Mode 5 om meerdere grafieken te kunnen tekenen. Voer in onderstaand programma de twee functievoorschriften m.b.v. de parameters ab, c, p en q in. Neem als startwaarden a = 1, b = 1,
c = 2, p = 1 en q = 1. Voer deze gegevens handmatig of  met een klik op de    in het programma in.



Na invoering van de gegevens gaan we kijken hoe de parabolen veranderen als we a, b, c, p en q variŽren. Kijk eerst eens hoe het zit met de wijdheid van beide parabolen. Klik daartoe op de Up/Down knop bij de parameter a. Maak a ook negatief. Wat zie je? Verander ook de parameters b, c, p en q en kijk wat er gebeurt. Geef een verklaring voor wat je ziet m.b.v. de formules. Wat zijn je conclusies? Welk functievoorschrift vind je bij parabolen het handigst?


Opgaven

  1. Verkenning van de parabool  f (x) =  ax2 + bx + c.
    Deze formule bestaat uit en zuiver kwadratisch gedeelte axen een lineair gedeelte bx + c. Samen vormen zij de parabool  f (x).
    Voer in het grafiekenprogramma drie functievoorschriften in:
        

    1.  f (x) =  ax2 + bx + c.

    2. g (x) =  ax2, het kwadratische gedeelte van f (x).

    3. h (x) = bx + c, het lineaire gedeelte van f (x).

    Neem als startwaarden voor de parameters: a = 1, b = 1, c = 1 en vul voor de variabele x alvast de x-coŲrdinaat van de top in: x = . Vink ook de x- en f (x)-haarlijn aan, zodat de top gemarkeerd is. Voer deze gegevens handmatig of  met een klik op de    in het programma in.
    Er geldt  f (x) = g (x) + h (x). De grafiek van f (x) is de somgrafiek van g (x) en h (x). Varieer de parameters  ab en c. en onderzoek hoe de grafieken onderling samenhangen. Wat gebeurt er als je a varieert? En wat als je c verandert? We hebben al gezien dat de coŲrdinaten van de top xtop =   en ytop = c .  Wat kun je zeggen over de plaats van de top als je b, de richtingscoŽfficiŽnt van het lineaire gedeelte varieert?
      

  2. Neem de parabool   f (x) =  ax2 + bx + c.
    Neem als startwaarden voor de parameters: a = 1, b = 1, c = 1 en vul voor de variabele x alvast de x-coŲrdinaat van de top in: x = . Vink ook de x- en f (x)-haarlijn aan, zodat de top gemarkeerd is. Er geldt xtop =   en ytop = c .
    Laat zien dat geldt: ytop = c a(xtop)2
    Voer in het grafiekenprogramma handmatig of  met een klik op de    twee functievoorschriften en de startgegevens in:

    1.  f (x) =  ax2 + bx + c.

    2. g (x) =  c ax2, het functievoorschrift dat bij de top van f (x) hoort.

    Wat kun je zeggen over de plaats van de top van f (x) als je b varieert?


Omhoog

Wiskunde online ----- is speciaal ontworpen voor:
Microsoft  Internet Explorer 5.5 of hoger
Beeldschermresolutie minimaal 800◊600
JavaScript-Interpretatie ingeschakeld!
Bijgewerkt: