Voorbeeld
In een fabriek worden hangkasten en legkasten gemaakt. Voor de fabricage zijn twee machines en een hoeveelheid arbeid beschikbaar in de vorm van respectievelijk machine-uren en arbeidsuren.
Om l hangkast te maken is nodig 2 uur op machine I, l uur op machine II en l uur arbeid.
Om l legkast te maken is nodig l uur op machine I, 2 uren op machine II en l uur arbeid.
Op machine I zijn maximaal 140 uren beschikbaar, op machine II 160 uur en aan arbeid is 90 uur beschikbaar. De gegevens per eenheid product, uitgedrukt in uren, zijn in onderstaande tabel verwerkt.

Bovendien is nog gegeven dat de winst per hangkast  € 30,- en per legkast B € 20,- bedraagt.
Hoeveel hangkasten en/of legkasten moet de fabrikant maken om de winst F zo groot mogelijk te maken?

Aanpak
Stel x₁, is het aantal hangkasten, en x₂ het aantal legkasten dat gemaakt wordt. Vanwege de beperkte productiecapaciteiten zal dan moeten gelden (zie ook tabel):

2x₁ +   x₂   140     voor machine I
  x₁ + 2x₂  160     voor machine II
  x₁ +   x₂     90     voor arbeid

We willen de winst F = 30x₁ + 20x₂ zo groot mogelijk maken. Ons wiskundig model heeft dus de volgende structuur:
  
Maximaliseer      F = 30x₁ + 20x₂                      (1)
m.b.t.                2x₁ +   x₂ 140                        (2)
                           x₁ + 2x₂ 160                        (3)
                           x₁ +   x₂    90                        (4)
                           x₁ 0, x₂   0                          (5)
    
We noemen (1) de doelfunctie en (2)  t.e.m. (5) de beperkende voorwaarden of restricties. Merk op dat zowel de doelfunctie als de beperkende voorwaarden lineaire functies zijn van de variabelen x₁ en x₂. We spreken daarom ook van Lineair Programmeren.
Lineaire programmeringsproblemen (LP-problemen) kunnen onder andere met behulp van de zogenaamde Simplex-methode opgelost worden. Zolang een LP-probleem echter slechts twee variabelen telt, is het op eenvoudige wijze grafisch op te lossen.

Voor bovenstaand voorbeeld tekenen we daartoe in het  x₁, x₂ -vlak de lijnen: 2x₁ +  x₂ = 140,  x₁ + 2x₂ = 160 en  x₁ +  x₂ = 90.
Toegestane gebied
Het geel gearceerde gebied noemen we het toegestane gebied. Elk punt in dit gebied stelt een productie- programma voor, dat aan alle restricties (2) t.e.m.(5) voldoet en waarbij een bepaalde opbrengst F hoort.
Isolijnen
De blauwe isolijnen stellen de lijn F = 30x₁ + 20x₂ voor bepaalde waarden van de winst F voor. F = 1000 geeft bijvoorbeeld de isolijn door het punt (20, 20). Overal op deze isolijn geldt F = 1000. Zie nevenstaande figuur. Eenvoudig is in te zien, dat de winst F groter wordt naarmate de isolijn meer naar rechts opschuift. De winst wordt maximaal als we de isolijn zo
ver naar rechts opschuiven dat hij nog net door het punt S(50, 40) gaat. S is het snijpunt van de lijnen x₁ +  x₂ = 90 en 2x₁ +  x₂ = 140.
Conclusie
De maximale winst is F = € 2300,-  voor x₁ = 50 en x₂ = 40.