Inleiding
Beschouw de n × n matrix A.

A =		a11	a12	.	.	.	a1n
		a21	a22	.	.	.	a2n
		.	.				.
		.	.				.
		.	.				.
		an1	an2	.	.	.	ann

Wij gaan ons nu bezig houden met een functie van de  n × n matrix A. Zo'n functie van de matrix A zullen we de determinant van de matrix A noemen. Bij het ontwikkelen van de matrixrekening hebben wiskundigen een aantal eigenschappen geformuleerd waaraan de determinantfunctie moet voldoen om bruikbaar te zijn bij allerlei praktische rekenproblemen.

Een van de eisen is dat de eigenschappen van de determinantfunctie naadloos moeten aansluiten bij de Gauss-Jordan eliminatiemethode. Bij de Gauss-Jordan methode spelen een drietal elementaire rij-operaties bij matrices een belangrijke rol:

1. twee rijen verwisselen

2. een rij met een scalair 0 vermenigvuldigen;

3. bij een rij een  -voud van een andere kolom optellen.

Deze operaties spelen een hoofdrol bij het bepalen van de inverse matrix A^-1 en bij het oplossen van grote stelsels vergelijkingen. Alleen als de waarde van de determinant van een matrix A 0 is, bestaat de inverse matrix A^-1. Stelsels van n lineaire vergelijkingen met n onbekenden hebben precies één oplossing als de determinant van de coëfficiëntenmatrix 0 is. De naam 'determinant' is dus niet zonder reden gekozen.

Tegenwoordig gebeurt het berekenen van de determinant m.b.v. computerprogramma's. Het algoritme hiervoor is dankzij de rij-eigenschappen van de determinantfunctie makkelijk te begrijpen en eenvoudig te programmeren. Hierbij speelt de Gauss-Jordan methode een belangrijke rol. In het online matrixprogramma dat u op deze website aantreft wordt van elke ingevoerde of berekende vierkante matrix de waarde van de determinant direct op het scherm afgedrukt.

Bij de behandeling van rangschikkingen is de determinantfunctie van een vierkante n × n matrix A reeds gedefinieerd. Voor een goed begrip van de definitie van de determinant is het beslist noodzakelijk de onderwerpen permutaties en rangschikkingen eerst te bestuderen.

Definitie van de Determinant
Beschouw de n × n matrix A.

A =		a11	a12	.	.	.	a1n
		a21	a22	.	.	.	a2n
		.	.				.
		ar1	ar2	.	.	.	arn
		.	.				.
		an1	an2	.	.	.	ann

Stel V = {_i | i = 1,2, ..., n!} is de verzameling van alle n! - zowel even als oneven - permutaties _i van de natuurlijke getallen 1, 2, ... , n  met n 2. Door de permutatie _i gaat de rangschikking
1, 2, ... , n dus over in de rangschikking _i(1), _i(2), ... , _i(n). Om de leesbaarheid van de definitie wat te verhogen noteren we in de hierna volgende definitie het matrixelement a_ij als a[i, j].

De determinant van een n × n matrix A, notatie det A of |A|, is een getal:
det A =   n!  i = 1  sgn(i) · a[1, i(1)] · a[2, i(2)] ... a[n, i(n)],
waarin het rechterlid de som van n! termen en i( j) de kolom-index van de matrix elementen voorstelt, terwijl sgn(i) =  +1, als het aantal misplaatsingen van i(1), i(2), ... , i(n) even is -1, als het aantal misplaatsingen van i(1), i(2), ... , i(n) oneven is

Voorbeeld 1
Beschouw de 2 × 2 matrix A

De 2 mogelijke rangschikkingen van de kolom-indices 1 en 2 zijn:

1, 2 waarbij ₁(1) = 1, ₁(2) = 2 en sgn(₁) = +1 want ₁ is even
2, 1 waarbij ₂(1) = 2, ₂(2) = 1 en sgn(₂) = -1 want ₂ is oneven

Hierin stellen _i voor i = 1 en 2 de 2 mogelijke permutaties van {1, 2}voor.

Voorbeeld 2
Beschouw de 3 × 3 matrix A

A =		a11	a12	a13
		a21	a22	a23
		a31	a32	a33

De 6 mogelijke rangschikkingen van de kolom-indices 1, 2 en 3 zijn:

1, 2, 3 waarbij ₁(1) = 1, ₁(2) = 2, ₁(3) = 3 en sgn(₁) = +1 want ₁ is even
1, 3, 2 waarbij ₂(1) = 1, ₂(2) = 3, ₂(3) = 2 en sgn(₂) = -1 want ₂ is oneven
2, 1, 3 waarbij ₃(1) = 2, ₃(2) = 1, ₃(3) = 3 en sgn(₃) = -1 want ₃ is oneven
2, 3, 1 waarbij ₄(1) = 2, ₄(2) = 3, ₄(3) = 1 en sgn(₄) = +1 want ₄ is even
3, 1, 2 waarbij ₅(1) = 3, ₅(2) = 1, ₅(3) = 2 en sgn(₅) = +1 want ₅ is even
3, 2, 1 waarbij ₆(1) = 3, ₆(2) = 2, ₆(3) = 1 en sgn(₆) = -1 want ₆ is oneven

Hierin stellen _i voor i = 1,2, ..., 6 de 6 mogelijke permutaties van {1, 2, 3}voor.

Elementaire rij-eigenschappen
De determinant van A is een functie van de matrixelementen a_ij en wordt vaak genoteerd als

det A =		a11	a12	.	a1k	.	a1n
		a21	a22	.	a2k	.	a2n
		.	.				.
		ar1	ar2		ark		arn
		.	.				.
		an1	an2	.	ank	.	ann

Om de rij-eigenschappen van de determinant op een overzichtelijke manier te formuleren voeren we eerst een wat handiger notatie voor de determinantfunctie in. We noteren de rijen van matrix A als rijvectoren A₁, A₂, ... , A_n. De r^e rij van A komt dus overeen met een rij-vector van de vorm:

A_r = (a_r1, a_r2, ... , a_rn)

We beschouwen nu de determinant als een functie van de n rijvectoren A₁, A₂, ..., A_n en schrijven dit als:

det A = d(A₁, A₂, ... , A_r, ... , A_n)

M.b.v. deze notatie kunnen we de elementaire rij-eigenschappen op een overzichtelijke manier formuleren. De definitie van de determinantfunctie is zo gekozen dat deze functie de volgende elementaire rij-eigenschappen heeft:

Eigenschap IV is niet zozeer een rij-eigenschap, maar meer een algemene eigenschap die rechtstreeks uit de definitie voortvloeit.

Hier volgen de bewijzen van de elementaire rij-eigenschappen:

---

Rij-eigenschap I
Worden de elementen van een rij van een vierkant n × n matrix  A = (a_ij) met een constante vermenigvuldigt, dan gaat det A over in · det A. Er geldt dus:

d(A₁, A₂, ... , · A_r, ... , A_n) =  · d(A₁, A₂, ... , A_r, ... , A_n)

Bewijs
Stel A' is de matrix die men krijgt door de elementen in de r-e rij van matrix A met een constante te vermenigvuldigen

A' =		a11	a12	.	.	.	a1n
		a21	a22	.	.	.	a2n
		.	.				.
		ar1	ar2				arn
		.	.				.
		an1	an2	.	.	.	ann

Volgens de definitie van de determinant geldt:

det A' =   n!  i = 1  sgn(i) · a[1, i(1)] · a[2, i(2)] . . . · a[r, i(r)] . . . a[n, i(n)],

=

n!  i = 1

· sgn(i) · a[1, i(1)] · a[2, i(2)] . . . a[r, i(r)] . . . a[n, i(n)],

=  ·

n!  i = 1

sgn(i) · a[1, i(1)] · a[2, i(2)] . . . a[r, i(r)] . . . a[n, i(n)],

=  · det A

Hetgeen te bewijzen viel.

---

Rij-eigenschap II
Zij A' een n × n matrix zodanig dat

A' =		a11	a12	.	.	.	a1n
		a21	a22	.	.	.	a2n
		.	.				.
		ar1+c1	ar2+c2				arn+cn
		.	.				.
		an1	an2	.	.	.	ann

dan geldt:

d(A₁, A₂, ... , A_r + C, ... , A_n) =  d(A₁, A₂, ... , A_r, ... , A_n) + d(A₁, A₂, ... , C, ... , A_n)

Bewijs
Volgens de definitie van de determinant geldt:

det A' =   n!  i = 1  sgn(i) · a[1, i(1)] · a[2, i(2)] . . . ( a[r, i(r)] + c[i(r)] ) . . . a[n, i(n)]

=

n!  i = 1

sgn(i) · a[1, i(1)] · a[2, i(2)] . . . a[r, i(r)] . . . a[n, i(n)] +

sgn(i) · a[1, i(1)] · a[2, i(2)] . . . c[i(r)] . . . a[n, i(n)]

=

n!  i = 1

sgn(i) · a[1, i(1)] · a[2, i(2)] . . . a[r, i(r)] . . . a[n, i(n)]

+

n!  i = 1

sgn(i) · a[1, i(1)] · a[2, i(2)] . . . c[i(r)] . . . a[n, i(n)]

Hetgeen te bewijzen viel.

---

Rij-eigenschap III
Verwisselt men in een vierkante n × n matrix  A = (a_ij) de r-e met de l-e rij, dan wisselt det A alleen van teken. Dus er geldt:

d(A₁, A₂, ... , A_r, ... , A_l, ... , A_n) = - d(A₁, A₂, ... , A_l, ... , A_r, ... , A_n) 

Bewijs
Stel A is gegeven door

A =		a11	a12	.	.	.	.	a1n
		a21	a22	.	.	.	.	a2n
		.	.					.
		ar1	ar2					arn		r-e rij
		.	.					.
		al1	al2					aln		l-e rij
		.	.					.
		an1	an2	.	.	.	.	ann

Stel V = {_i | i = 1,2, ..., n!} is de verzameling van alle n! - zowel even als oneven - permutaties _i van de natuurlijke getallen 1, 2, ... , n  met n 2. 
Door de permutatie _i gaat de rangschikking 1, 2, ..., r, ... , l, ... , n dus over in de rangschikking _i(1), _i(2), ... , _i(r), ... , _i(l), ... , _i(n).Volgens de definitie is
  

det A =

n!  i = 1

sgn(i) · a[1, i(1)] · a[2, i(2)]...a[r, i(r)]...a[l, i(l)]...a[n, i(n)]

(1)

Stel A' is de matrix die men krijgt door in matrix A de r-e rij met de l-e rij te verwisselen.
  

A' =		a11	a12	.	.	.	.	a1n
		a21	a22	.	.	.	.	a2n
		.	.					.
		al1	al2					aln		r-e rij
		.	.					.
		ar1	ar2					arn		l-e rij
		.	.					.
		an1	an2	.	.	.	.	ann

 Volgens de definitie van de determinant geldt dan:

det A' =   n!  i = 1  sgn(i) · a[1, i(1)] · a[2, i(2)]...a[l, i(r)]...a[r, i(l)]...a[n, i(n)]  (2)

De permutatie _i is gegeven door

i =		1	2	...	r	...	l	...	n		voor i = 1,2, ..., n!
		i(1)	i(2)	...	i(r)	...	i(l)	...	i(n)

Zij nu _i' gedefinieerd door

i' =		i'( j) = i( j)	voor j = 1, ..., n en j r, l	voor i = 1,2, ..., n!
		i'( r) = i( l) en i'( l) = i( r)

De rangschikking _i'(1), _i'(2), ... , _i'(r), ... , _i'(l), ... , _i'(n) komt dus tot stand door in de rangschikking _i(1), _i(2), ... , _i(r), ... , _i(l), ... , _i(n) de elementen _i(r) en _i(l) te verwisselen. Dus

i' =		1	2	...	r	...	l	...	n		voor i = 1,2, ..., n!
		i(1)	i(2)	...	i(l)	...	i(r)	...	i(n)

Bij de behandeling van permutaties en rangschikkingen hebben we gezien dat dan geldt:

sgn(_i) = - sgn(_i')

Verder geldt dat V = {_i | i = 1,2, ..., n!} = {_i' | i = 1,2, ..., n!}.
Alleen de volgorde in {_i' | i = 1,2, ..., n!} is anders dan in {_i | i = 1,2, ..., n!}.

We kunnen uitdrukking (2) nu schrijven als

det A' =

n!  i = 1

- sgn(i') · a[1, i'(1)] · a[2, i'(2)]...a[l, i'(l)]...a[r, i'(r)]...a[n, i(n)]

= -

n!  i = 1

sgn(i') · a[1, i'(1)] · a[2, i'(2)]...a[l, i'(l)]...a[r, i'(r)]...a[n, i(n)]

= - det A

Hetgeen te bewijzen viel.

---

Eigenschap IV
De determinant van de n × n eenheidsmatrix I = (u_ij)is gelijk aan 1.

Bewijs
Stel I is gegeven door

I =		1	0	0	.	.	.	0
		0	1	0	.	.	.	0
		0	0	1				.
		.	.					.
		.	.					.
		.	.				1	0
		0	0	.	.	.	0	1

Volgens de definitie is

det 1 =

n!  i = 1

sgn(i) · u[1, i(1)] · u[2, i(2)]...u[n, i(n)]

(3)

Voor de identieke permutatie e geldt:

sgn(e) · u[1, 1] · u[2, 2] . . . u[n, n]	=	1 · 1 · 1 . . . 1·
	=	1

Voor alle andere permutaties _i in de uitdrukking (3) geldt:

sgn(_i) · u[1, _i(1)] · u[2, _i(2)] . . . u[n, _i(n)] = 0

omdat er minstens één factor u[r, _i(r)] in voorkomt waarvoor r _i(r) en dus u[r, _i(r)] = 0.
Dus geldt det 1 = 1.

Hetgeen te bewijzen viel.

Stellingen

Stelling 1
De determinant van een matrix waarvan een rijvector gelijk is aan O = (0, 0, ... , 0), is gelijk aan 0.

Bewijs
We weten (Rij-eigenschap I) dat als we de elementen van een rij van een vierkante n × n matrix  A = (a_ij) met een constante vermenigvuldigt, dan det A overgaat in · det A. Er geldt dus

d(A₁, A₂, ... , · A_r, ... , A_n) =  · d(A₁, A₂, ... , A_r, ... , A_n)

Neem nu eenvoudigweg = 0 dan krijgen we:

d(A₁, A₂, ... , O, ... , A_n) = d(A₁, A₂, ... ,0 · A_r, ... , A_n) = 0 · d(A₁, A₂, ... , A_r, ... , A_n) = 0

Stelling 2
De determinant van een matrix waarvan twee rijen gelijk zijn, is gelijk aan 0.

Bewijs
Beschouw een matrix A waarvan de r-e en de l-e rij gelijk zijn. Dan geldt:

d(A₁, A₂, ... , A_r, ... , A_l, ... , A_n) = d(A₁, A₂, ... , A_l, ... , A_r, ... , A_n)         (1)

Volgens Rij-eigenschap III geldt echter ook:

d(A₁, A₂, ... , A_r, ... , A_l, ... , A_n) = - d(A₁, A₂, ... , A_l, ... , A_r, ... , A_n)      (2)

Uit (1) en (2) volgt:

d(A₁, A₂, ... , A_r, ... , A_l, ... , A_n) = - d(A₁, A₂, ... , A_r, ... , A_l, ... , A_n)

en dus

d(A₁, A₂, ... , A_r, ... , A_l, ... , A_n) = 0

Stelling 3
Als je in een matrix bij een rij een veelvoud van een andere rij optelt, verandert de waarde van de determinant niet.

Bewijs
Beschouw een matrix A waarvan bij de r-e rij een -voud van de l-e rij is opgeteld. Dan geldt volgens de rij-eigenschappen I en II en stelling 2:

d(A1, A2, ... , Ar + Al, ... , Al, ... , An)	=	d(A1, A2, ... , Ar, ... , Al, ... , An)
		+ d(A1, A2, ... , · Al, ... , Al, ... , An)
	=	d(A1, A2, ... , Ar, ... , Al, ... , An)
		+ · d(A1, A2, ... , Al, ... , Al, ... , An)
	=	d(A1, A2, ... , Al, ... , Ar, ... , An)
		+ · 0
	=	d(A1, A2, ... , Ar, ... , Al, ... , An)
	=	det A

Stelling 4
De determinant van een matrix waarvan de rijen afhankelijk zijn, is gelijk aan 0.

Bewijs
Beschouw de matrix A waarvan de rijvectoren afhankelijk zijn. Er bestaan dus scalairen (getallen)
c₁, ... , c_n, niet alle nul, zodanig dat

n  i = 1

ci · Ai

=

O

Dit betekent dat elke rijvector A_r met c_r0 uitgedrukt kan worden als een lineaire combinatie van de andere rijvectoren. Zonder de algemeenheid te schaden mogen we aannemen dat A₁ een lineaire combinatie van de andere rijvectoren is:

A1 =

n  i = 2

ti · Ai

Daaruit volgt:

d(A1, A2, ... , An)	=	d(  n  i = 2 ti · Ai, A2, ... , An)
	=	n  i = 2 ti · d(Ai, A2, ... , An)

Elke term d(A_i, A₂, ... , A_n) in de laatste som is gelijk aan 0 omdat A_i gelijk is aan minstens één van de andere rijvectoren A₂, ... , A_n. Dus de hele som is gelijk aan 0.

Hetgeen te bewijzen viel.

Determinanten berekenen
In het online computerprogramma "Matrixbewerkingen op Internet" wordt van elke ingevoerde of berekende vierkante matrix de waarde van de determinant direct op het scherm afgedrukt.
De definitie van de determinant, zoals die hier gegeven is, is op zich niet erg geschikt om gebruikt te worden voor het berekenen van een determinant in een computerprogramma.

Één van de beste methoden om m.b.v. een computerprogramma de determinant van een matrix A uit te rekenen, is de Gauss-Jordan eliminatie methode. Deze methode houdt in dat we matrix A

A =		a11	a12	.	.	.	a1n
		a21	a22	.	.	.	a2n
		.	.				.
		ar1	ar2	.	.	.	arn
		.	.				.
		an1	an2	.	.	.	ann

d.m.v elementaire rij-operaties tot een bovendiagonaalmatrix D

D =		d11	d12	.	.	.	d1n
		0	d22	.	.	.	d2n
		.	.				.
		.	.				.
		.	.				.
		0	0	.	.	.	dnn

kunnen herleiden door:

1. twee rijen verwisselen

2. een rij met een scalair 0 vermenigvuldigen;

3. bij een rij een  -voud van een andere rij optellen.

Bij operatie 1. wisselt de determinant van teken, bij operatie 2. wordt de waarde van de determinant met vermenigvuldigt en bij operatie 3. verandert de waarde van de determinant niet.

Door de operaties 1., 2. en 3. systematisch op de matrix A toe te passen, kunnen we deze herleiden tot een bovendiagonaalmatrix D, waarvan we de determinant eenvoudig kunnen bereken. Bij elke operatie 1. of 2. moeten we uiteraard bijhouden hoe de determinant verandert.

Stel we hebben operatie 1.  p keer en operatie 2.  q keer toe moeten passen om matrix A te herleiden tot een bovendiagonaalmatrix D. Stel dat bij operatie 2. de vermenigvuldigingsfactoren
₁, ₂, ₃, ... _q gebruikt zijn. Dan krijgen we:

det A = (-1) ^p (_{1 2 3} ... _q)^-1 · det D, met det D = d₁₁ d₂₂ d₃₃ . . . d_nn

Ga dit na!

Voorbeeld

det

1  3  2  8

= 2;   det

5  0  1  1 -2  3  3  8  6

= -166

Ga dit voorbeeld met onderstaand programma na.
Kies uit het Bestand-menu het item Nieuw Project.
Kies daarna het project C =  A^-1 (het inverteren van matrices) en vul de matrixelementen in.

Het programma (programma-handleiding)

Opgave

Bepaal met het bovenstaand programma de volgende determinanten:

(a)

2  1  1  1  4 -4  1  0  2

, (b)

3  0  8  5  0  7  1  0  2

, (c)

1 -1  1  1  1 -1 -1 -1  1  1 -1 -1  1  1  1 -1