Definitie
Stel A = (a_ij) is een m × p matrix en B = (b_ij) is een p × n matrix . Het aantal kolommen van A is dus gelijk aan het aantal rijen van B (in dit geval p).
De productmatrix  A · B  is de  m × n matrix C = (c_ij), waarvan je de matrixelementen c_ij krijgt door de i-e rij van A te vermenigvuldigen met de j-e kolom van B. De matrixelementen c_ij van C bereken je dus als volgt:

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + a_i3b_3j + ..... + a_ipb_pj   voor i = 1, 2, ..., m en j = 1, 2, ..., n

of in verkorte notatie

In onderstaande figuur is dit in beeld gebracht.

a11 a12 . a1k . a1p a21 a22 . . . a2p . . . ai1 . . aik . aip . . . am1 am2 . amk . amp

·

b11 b12 . b1j . b1n b21 b22 . . . b2n . . . bk1 . . bkj . bkn . . . bp1 bp2 . bpj . bpn

=

c11 c12 . c1j . c1n c21 c22 . . . c2n . . . ci1 . . cij . cin . . . cm1 cm2 . cmj . cmn

In het online computerprogramma "Matrixbewerkingen op Internet" wordt het vermenigvuldigen van matrices in een rechthoekig schema weergegeven, zie onderstaande figuur, zodat je precies kunt volgen hoe het programma te werk gaat. Hierin kun je de matrixelementen van A en B invullen en worden meteen de matrixelementen van matrix C uitgerekend en aangepast.

	A · B = C	b11 b12 . . b1j . b1n b21 b22 . . . . b2n . . . . . . bk1 . . . bkj . bkn . . . bp1 bp2 . . bpj . bpn	= B
A =	a11 a12 . . a1k . a1p a21 a22 . . . . a2p . . . . . . ai1 . . . aik . aip . . . am1 am2 . . amk . amp	c11 c12 . . c1j . c1n c21 c22 . . . . c2n . . . . . . ci1 . . . cij . cin . . . cm1 cm2 . . cmj . cmn	= A · B = C

Door de matrix B rechts boven A te plaatsen kun je goed zien hoe de  berekening gaat, dus welke rij van A met welke kolom van B vermenigvuldigd wordt om het matrixelement c_ij te krijgen. Bovendien kun je goed zien dat het aantal kolommen van A gelijk moet zijn aan het aantal rijen van B om de vermenigvuldiging uit te kunnen voeren.

Associatieve en distributieve eigenschappen
Door de manier waarop het vermenigvuldigen van matrices gedefinieerd is gelden voor matrices A, B en C de volgende eigenschappen:

1. Als de afmetingen van A, B en C zodanig zijn dat A · (B · C) en (A · B) · C betekenis hebben, dan geldt:

    A · (B · C) = (A · B) · C ( associatieve eigenschap)
     

2. Stel dat A en B dezelfde afmeting hebben. Als  A · C en B · C  betekenis hebben, dan geldt:

   (A + B) · C = A · C + B · C ( rechter distributieve eigenschap)
      

3. Stel dat A en B dezelfde afmeting hebben. Als  C · A en C · B  betekenis hebben, dan geldt:

   C · (A + B) = C · A + C · B ( linker distributieve eigenschap)
     

4. Voor de getransponeerde van het product A · B geldt

   (A · B)^T = B^T · A^T  (Let op de volgorde!)
   

Deze eigenschappen worden hier zonder bewijs vermeld.

Kolomeigenschappen
Bekijken we nogmaals het rechthoekig schema waarin de matrixvermenigvuldiging A · B = C is weergegeven

	A · B = C	b11 b12 . . b1j . b1n b21 b22 . . . . b2n . . . . . . bk1 . . . bkj . bkn . . . bp1 bp2 . . bpj . bpn	= B
A =	a11 a12 . . a1k . a1p a21 a22 . . . . a2p . . . . . . ai1 . . . aik . aip . . . am1 am2 . . amk . amp	c11 c12 . . c1j . c1n c21 c22 . . . . c2n . . . . . . ci1 . . . cij . cin . . . cm1 cm2 . . cmj . cmn	= A · B = C

waarbij c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + a_i3b_3j + ..... + a_ipb_pj   voor i = 1, 2, ..., m en j = 1, 2, ..., n dan is gemakkelijk na te gaan dat de volgende kolom-eigenschappen gelden:

• Als we twee kolommen in matrix B verwisselen dan verwisselen ook de overeenkomstige kolommen in de antwoordmatrix C.

• Als we de j-de kolom van matrix B met een getal vermenigvuldigen dan wordt ook de j-de kolom van de antwoordmatrix C met vermenigvuldigd.

• Tellen we bij de j-de kolom van B een -voud van de l-de kolom van B op dan wordt ook bij de  j-de kolom van C het -voud van de l-de kolom van C opgeteld.

We noemen dit elementaire kolom-operaties. De kolom-eigenschappen volgen direct uit de manier waarop matrixvermenigvuldiging gedefinieerd is en zijn van groot belang bij het bepalen van de inverse matrix A^-1 van een vierkante matrix A.  Zie hiervoor het onderwerp Inverse matrix.

Rij-eigenschappen
Bekijken we nogmaals het rechthoekig schema waarin de matrixvermenigvuldiging A · B = C is weergegeven

	A · B = C	b11 b12 . . b1j . b1n b21 b22 . . . . b2n . . . . . . bk1 . . . bkj . bkn . . . bp1 bp2 . . bpj . bpn	= B
A =	a11 a12 . . a1k . a1p a21 a22 . . . . a2p . . . . . . ai1 . . . aik . aip . . . am1 am2 . . amk . amp	c11 c12 . . c1j . c1n c21 c22 . . . . c2n . . . . . . ci1 . . . cij . cin . . . cm1 cm2 . . cmj . cmn	= A · B = C

waarbij c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + a_i3b_3j + ..... + a_ipb_pj   voor i = 1, 2, ..., m en j = 1, 2, ..., n dan is gemakkelijk na te gaan dat de volgende rij-eigenschappen gelden:

• Als we twee rijen in matrix A verwisselen dan verwisselen ook de overeenkomstige rijen in matrix C.

• Als we de i-de rij van matrix A met een getal vermenigvuldigen dan wordt ook de de i-de rij van C met vermenigvuldigd.

• Tellen we bij de i-de rij van A een -voud van de l-de rij van A op, dan wordt ook bij de  i-de rij van C het -voud van de l-de rij van C opgeteld.

We noemen dit elementaire rij-operaties. De rij-eigenschappen volgen direct uit de manier waarop matrixvermenigvuldiging gedefinieerd is en zijn van groot belang bij het bepalen van de inverse matrix B^-1 van een vierkante matrix B.  Zie hiervoor het onderwerp Inverse matrix.

Voorbeeld 1

Stel A =

1  2 -3 -1  0  4

en B =

4  6  5 -1  0  2

Omdat A een 2 × 3 matrix en B een 3 × 2 matrix is, is het product C = A · B een 2 × 2 matrix.

C = A · B =

c11 c12 c21 c22

=

14 -2  -4  2

De matrixelementen van C = A · B worden als volgt berekend:

Ga dit voorbeeld met onderstaand programma na!.

Voorbeeld 2

Stel A =

2  1  3  1  2  4

en B =

2 -1 -2

Hier is A een 2 × 3 matrix en B een 3 × 1 matrix. Dus het product C = A · B is een 2 × 1 matrix.

C = A · B =

c11 c21

=

-3 -8

De matrixelementen van C = A · B worden als volgt berekend:

Ga dit voorbeeld met onderstaand programma na!.

Voorbeeld 3

Als A en B beide vierkante matrices met dezelfde afmeting zijn, bestaan zowel A · B als B · A.

Stel A =

1  2 -1  3

en B =

3  5  4  2

We vinden:

A · B =

11  9  9  1

en  B · A =

-2 21  2 14

Ga dit met onderstaand programma na!

Dit voorbeeld laat zien dat  A · B B · A. Als A · B = B · A dan zeggen we dat A en B commuteren.

Voorbeeld 4

Als I een p × p eenheidsmatrix is, dan is I · A = A voor elke p × n matrix A, en B · I = B voor elke  m × p matrix B. Bijvoorbeeld:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

·

4 2 3

=

4 2 3

,

2  1  3  1  2  4

·

1 0 0 0 1 0 0 0 1

=

2  1  3  1  2  4

.

Ga dit voorbeeld met onderstaand programma na!.

Het programma (programma-handleiding)

Opgave 1

Gegeven zijn:

A =

1 -4  2 -1  4 -2

, B =

1  2 -1  3  5 -2

en C =

4  6  5 -1  0  2

Bereken met bovenstaand programma:  B + C,   A · B,   B · A,   A · C,   C · A,   A(2B - 3C).

Tip: Sla tussenantwoorden op schijf op.

Opgave 2

Bereken met bovenstaand programma  A · B -  B · A voor de volgende gevallen

a)  A =

1  2  2  2  1  2  1  2  3

, B =

4  1  1 -4  2  0  1  2  1

b)  A =

2  0  0  1  1  2 -1  2  1

, B =

3  1 -2  3 -2  4 -3  5 11

Tip: Sla tussenantwoorden op schijf op.