Inleiding
Een cirkel is de meetkundige plaats van de punten P met de eigenschap dat de afstand tot een vaste punt M (het middelpunt) constant is. Deze afstand noemen we de straal van de cirkel.

De cirkel is één van de elementaire vormen in de wiskunde. In de natuur om ons heen komt de cirkel nauwelijks voor. Maar toch moeten onze verre voorouders bij de aanblik van zon en maan het idee gekregen hebben dat de cirkel en de bol in het universum een belangrijke rol speelt. Als je om je heen kijkt en de lijnen van de horizon en het firmament volgt krijg je misschien zelfs het idee dat je in het middelpunt van het universum staat. Niets is minder waar! Maar nu ter zake.

In figuur 1 zie je een cirkel waarbij het middelpunt in de oorsprong O gelegen is. De verzameling van alle mogelijke punten met de eigenschap PO = a met a0 vormt precies een cirkel de vergelijking:

K:   x² + y² = a²

De poolvergelijking van een cirkel wordt gegeven door r = a, waarin r de straal van de cirkel is. De straal r is dus geen functie van de richtingshoek van de lijn OP met de positieve x-as.

De parametervoorstelling van een cirkel heeft de volgende vorm:

		x() = acos() y() = asin()	met a0 en de richtingshoek van de lijn OP
K:

Ga het volgende voorbeeld met het onderstaande programma na. Onderaan deze webpagina staat een opgave die je met dit programma kunt oplossen. Voordat je aan de slag gaat kun je, als je dat nog niet gedaan hebt,  desgewenst de volgende onderwerpen doornemen:

• Computernotatie van getallen
• Rekenkundige bewerkingen en voorrangsregels
• Standaardfuncties en functievoorschriften

Let op!

Bij "Parameterkrommen op Internet" moet je in afwijking van "Functies en Grafieken op Internet" voor de variabele (parameter) i.p.v. de letter x de letter t gebruiken. Dit omdat bij parameterkrommen de variabele vaak de tijd t is.

Voorbeeld
Een punt P doorloopt met constante snelheid een cirkel gegeven door de parametervoorstelling:

		x(t) = 5cos(3t) y(t) = 5sin(3t)	voor 0  t 2
K:

Hierin zijn x en y in cm en is t in seconden.

1. Plot m.b.v. onderstaand programma de cirkel. Welk kijkvenster heb je genomen om de hele baan in beeld te krijgen?

2. Geef de poolvergelijking van de cirkel.

3. Geef de richtingshoek van de lijn OP voor t = 1 in graden nauwkeurig.

4. Hoe vaak wordt de cirkel doorlopen voor 0  t 2.

5. Geef de formule voor de helling van de raaklijn in een punt P van een cirkel

6. Geef de formule voor de snelheidsfunctie v(t)

7. Geef de formule voor de lengte van de baan L(t) voor 0  t 2

We gaan dit voorbeeld oplossen m.b.v. onderstaand programma.Voer de gegevens handmatig of met een  klik op de  Invoerknop in.

Tekst en uitleg

1. Om een geschikt kijkvenster te bepalen is het (indien nodig) voldoende een paar keer t.o.v. de oorsprong in/uit te zoomen, net zo lang tot de hele kromme in beeld is. Neem als in/uitzoomfactor 2. Uitzoomen doe je door rechtsklikken op de oorsprong, of zo je wilt op een ander punt. Inzoomen doe je door linksklikken

2. Er geldt volgens de stelling van Pythagoras

   r2	= x2 + y2
   	= 25cos2(3t) + 25sin2(3t)
   	= 25(cos2(3t) + sin2(3t))
   	= 25 want cos2(3t) + sin2(3t) = 1

   Daaruit volgt de poolvergelijking: r = 25 = 5.

3. Voor de richtingshoek van de lijn OP voor t = 1 geldt = 3t = 3 rad.
   Daaruit volgt = 3 : ×180° 172°.

4. Voor de richtingshoek van de lijn OP geldt = 3t. Als t varieert van 0 tot 2 dan varieert van 0 tot 6. Dit betekent dat het punt P de cirkel 3 maal doorloopt.
     

5.  In het algemeen geldt voor de parametervoorstelling van een cirkel :

   		x(t) = rcos(at) y(t) = rsin(at)	waarin r de straal en a een willekeurige constante 0
   K:

   x'(t) = -arsin(at) en y'(t) = arcos(at)

   Zie hiervoor de regels voor het differentiëren van samengestelde functies. Verder geldt voor de helling van de raaklijn in een punt van de cirkel:

   = = = -

6. De snelheid op tijdstip t in een punt P van de cirkel kan volgens de stelling van Pythagoras berekend worden met de formule v(t_P) = [{x'(t_P)}² + {x'(t_P)}²]. We weten uit onderdeel e. dat voor r = 5 en a = 3 dat x'(t) = -15sin(3t) en y'(t) = 15cos(3t)

   Daaruit volgt:

   v(t)	=  [225sin2(3t) + 225cos2(3t)]
   	=  [225{sin2(3t) + cos2(3t)}]
   	=  15[sin2(3t) + cos2(3t)]      Er geldt sin(3t)2 + cos(3t)2= 1
   	=  15 cm/sec

   
   

7. Voor de lengte van de baan geldt:

     L =v(t_p) dt = 15 dt = 15t cm. De totale lengte wordt dan 15×2= 30 cm.

Opgave

1. Een punt P doorloopt een cirkel K met parametervoorstelling:

   		x(t) = 3sin(5t) y(t) = 3cos(5t)	voor 0  t 8
   K:

   Hierin zijn x en y in cm en is t in seconden.

   1. Plot de baan in een geschikt kijkvenster.

   2. Hoe vaak wordt de cirkel doorlopen?

   3. Geef een formule voor de helling van de raaklijn in P als functie van t

   4. Bereken de hellingshoek van de raaklijn aan de cirkel voor t = 3

   5. Bepaal de snelheidsfunctie v(t)

   6. Geef de formule voor de lengte van de baan L(t) voor 0  t 8

   7. Bepaal op welk tijdstip t de lengte van de baan 10 cm is.