Inleiding
Een ellips is de meetkundige plaats van de punten P met de eigenschap dat de som van de afstanden tot twee vaste punten F₁ en F₂ (de brandpunten) constant is.

Tuinmansconstructie van een ellips
Neem een stuk touw met lengte 2a en bevestig dit in  F₁ en F₂. Zie figuur 1. Span het touw op met behulp van een stok in P en trek het spoor van P door het touw overal op te spannen. Zo krijg je een ellips.

De ellips is naast de cirkel een elementaire vorm in de wiskunde. Planeten beschrijven ellipsvormige banen rond de zon. Een belangrijke reden om de eigenschappen van de ellips eens even op een rijtje te zetten.

In figuur 1 zie je een ellips waarbij de brandpunten op de x-as gelegen zijn. De verzameling van alle mogelijke punten met de eigenschap PF₁ +  PF₂ = 2a met a0 vormt hier precies een ellips met de vergelijking:

K:    + = 1          (1)

We laten het bewijs van (1) hier achterwege. De twee brandpunten zijn F₁(-f, 0) en F₂( f, 0) en er geldt  f ² = a² - b². De parametervoorstelling van deze ellips heeft de vorm:

K:

x(t) = acos(t) y(t) = bsin(t)

met t in radialen

Let op!

De parameter t is hier niet hetzelfde als de richtingshoek van de lijn OP met de positieve x-as

Als f = 0 en F₁ en F₂ dus samenvallen gaat de ellips over in een cirkel! Ga dit na. In hoeverre de ellips afwijkt van een cirkel wordt dus bepaald door de waarde van f. Hoe groter f hoe meer de ellips van een cirkel afwijkt. Dit moet je natuurlijk wel zien in verhouding tot de grootte van de ellips. De grootte van de ellips wordt weer bepaald door de waarde van  a en dit is gelijk aan de helft van de lengte van de hoofdas. Zie figuur 1. De afwijking van de ellips t.o.v. de cirkel noemen we de excentriciteit van de ellips en definiëren we als e = . Er geldt e1 omdat f a.

Een veel algemenere vorm voor de parametervoorstelling van een ellips is:

K:

x(t) = p + acos(t + c) y(t) = q + bsin(t + d)

met t in radialen

Ga het volgende voorbeeld met het onderstaande programma na. Onderaan deze webpagina staat een opgave die je met dit programma kunt oplossen. Voordat je aan de slag gaat kun je, als je dat nog niet gedaan hebt,  desgewenst de volgende onderwerpen doornemen:

• Computernotatie van getallen
• Rekenkundige bewerkingen en voorrangsregels
• Standaardfuncties en functievoorschriften

Let op!

Bij "Parameterkrommen op Internet" moet je in afwijking van "Functies en Grafieken op Internet" voor de variabele (parameter) i.p.v. de letter x de letter t gebruiken. Dit omdat bij parameterkrommen de variabele vaak de tijd t is.

Voorbeeld
Een ellips is gegeven door de parametervoorstelling:

		x(t) = 7cos(t) y(t) = 4sin(t)	voor 0  t 2
K:

Hierin zijn x en y in cm en is t in radialen.

1. Plot m.b.v. onderstaand programma de ellips. Welk kijkvenster heb je genomen om de hele baan in beeld te krijgen?

2. Geef de richtingshoek t in radialen in twee decimalen nauwkeurig van de lijn OP voor t = 1 in graden nauwkeurig.

3. Geef de poolvergelijking van de ellips en geef een alternatieve parametervoorstelling van de ellips waarin de richtingshoek de parameter is.

4. Geef de formule voor de helling van de raaklijn in een punt P van de ellips als functie van t.

5. Bepaal de excentriciteit van de ellips en geef de coördinaten van F₁ en F₂.

We gaan dit voorbeeld oplossen m.b.v. onderstaand programma.Voer de gegevens handmatig of met een  klik op de  Invoerknop in.

Tekst en uitleg

1. Om een geschikt kijkvenster te bepalen is het (indien nodig) voldoende een paar keer t.o.v. de oorsprong in/uit te zoomen, net zo lang tot de hele kromme in beeld is. Neem als in/uitzoomfactor 2. Uitzoomen doe je door rechtsklikken op de oorsprong, of zo je wilt op een ander punt. Inzoomen doe je door linksklikken

2. Met het programma blijkt dat voor t = 1 geldt x_P = 3.782116 en y_P =  3.365884. Er geldt tan() = . Er geldt = 0.8899. Dus = arctan(0.8899) = 0.73 rad

3. De vergelijking van de ellips is: K:    + = 1.
   Het is sowieso handig om de breuken in deze vergelijking weg te werken voordat we verder gaan. We vermenigvuldigen daartoe beide leden van de vergelijking met a²b².
       
   We krijgen dan  b²x² + a²y² =  a²b²    (2)
     
   Er geldt (zie figuur 1):  a = 7, b = 4, x = r cos() en y = r sin().
   Substitueren we dit in (2) dan krijgen we: 16r²cos²() + 49r²sin²() = 784
   We halen in het linkerlid r² buiten haakjes. Dit geeft: r²[16cos²() + 49sin²()] = 784
   Worteltrekken geeft:  r[16cos²() + 49sin²()] = 28
   Daaruit volgt:  r = 28 ÷ [16cos²() + 49sin²()]
   
   De parametervoorstelling wordt dan:

   		x() = 28 ÷ [16cos2() + 49sin2()] × cos() y() = 28 ÷ [16cos2() + 49sin2()] × sin()	voor 0   2
   K:

      
   

4. Voor de ellips geldt:

   x'(t) = -7sin(t) en y'(t) = 4cos(t)

   Zie hiervoor de regels voor het differentiëren van goniometrische functies. Verder geldt voor de helling van de raaklijn in een punt van de ellips:

   = = = -

5. De twee brandpunten zijn F₁(-f, 0) en F₂( f, 0) en er geldt  f ² = a² - b² = 49 -16 = 33. Daaruit volgt f = 33. De excentriciteit van de ellips is e = 0.82.

Opgave

1. Gegeven is de parametervoorstelling van een ellips:

   		x(t) = 4sin(t) y(t) = 3cos(t)	voor 0  t 2
   K:

   Hierin zijn x en y in cm en is t in radialen.

   1. Plot de baan in een geschikt kijkvenster.

   2. Bereken de coördinaten van de brandpunten van de ellips.

   3. Bereken de excentriciteit van de ellips.

   4. Geef de poolvergelijking van de ellips waarin de richtingshoek van de lijn OP de parameter is.

   5. Bereken de hellingshoek van de raaklijn aan de ellips voor t = 3

   6. Bepaal op voor welke t de lengte van de baan 5 cm is.