Inleiding
De standaardformule voor de grafiek van een derdegraadsfunctie is:

 y = ax³ + bx² + cx + d

Dit noemen we een derdegraads verband tussen x en y. De getallen a,  b, c en d noemen we ook wel parameters. Parameters zijn hulpvariabelen waarmee je oneindig veel formules kort kunt noteren. Als je voor a,  b, c en d getallen invult krijg je een bepaalde formule van een derdegraads kromme. Deze parameters bepalen of de grafiek globaal omhoog of juist omlaag loopt, of er een maximum en een minimum in zit, waar het buigpunt ligt en hoeveel nulpunten er zijn.

Een grafiek van een derdegraadsfunctie heeft vier belangrijke eigenschappen:

• Als a 0 dan loopt de grafiek, afgezien van een eventuele 'dip', omhoog.
  Als a 0 dan loopt de grafiek, afgezien van een eventuele 'hobbel', omlaag.

• De steilheid van de grafiek. Deze wordt ook bepaald door de parameter a. Hoe groter a, hoe steiler de grafiek.

• De plaats van de toppen. De de x-coördinaten van de toppen komen overeen met de de x-coördinaten van de nulpunten van de eerste afgeleide functie. Er zijn lang niet altijd extreme waarden. Waarom?

• De plaats van het buigpunt. De de x-coördinaat van het buigpunt komt overeen met de de x-coördinaat van het nulpunt van de tweede afgeleide functie. Er is altijd een buigpunt.

Ga het volgende voorbeeld met het onderstaande programma na. Onderaan deze webpagina staan opgaven die je met het grafiekenprogramma kunt oplossen. Voordat je aan de slag gaat kun je, als je dat nog niet gedaan hebt,  desgewenst de volgende onderwerpen doornemen:

• Computernotatie van getallen
• Rekenkundige bewerkingen en voorrangsregels
• Standaardfuncties en functievoorschriften

Voorbeeld
We gaan de grafiek van het standaardfunctievoorschrift onderzoeken:

f (x) =  ax³ + bx² + cx + d

Voer in onderstaand programma dit functievoorschrift m.b.v. de parameters a,  b, c, en d in. De startwaarden zijn a = 1, b = 3, c = 1 en d = 1. De parameters zijn zo gekozen dat er een 'dip' in de grafiek zit.

Voor het interval op de x-as kiezen we [10; 10] dus X_min = 10 en X_max = 10. Voor het interval op de y-as nemen we [10; 10], dus Y_min = 10 en Y_max = 10. Schakel het programma naar Mode 4 zodat de afgeleide f ' (x) en de tweede afgeleide f '' (x) , die door het programma automatisch berekend worden, ook in beeld komen. Je kunt dan goed het onderling verband zien. Voer deze gegevens handmatig of  met een klik op de  Invoerknop in onderstaand grafiekenprogramma in.

Het programma is gestart in Mode 4, zodat de afgeleide f ' (x) en de tweede afgeleide f '' (x) , die door het programma automatisch berekend worden, ook in beeld zijn. Je kunt goed het onderling verband zien.

• De de x-coördinaten van de toppen van f (x) zijn gelijk aan de x-coördinaten van de nulpunten van de eerste afgeleide  f ' (x).

• De grafiek van f (x) is dalend daar waar f ' (x) 0, dus waar de grafiek van f ' (x) onder de x-as ligt.

• De de x-coördinaat van het buigpunt is gelijk aan de de x-coördinaat van het nulpunt van de tweede afgeleide  f '' (x).

We gaan nu kijken hoe de grafiek verandert als we a, b, c en d veranderen. Klik daartoe op Up/Down knop bij de parameter a. Wat zie je? Varieer ook de parameters b, c en d en kijk wat het effect op de grafiek van f (x) is.

Opgaven

1. Bepaal in bovenstaand voorbeeld ( Invoerknop) de coördinaten van de toppen en het buigpunt.
   
   Het is lang niet altijd zo dat een derdegraadskromme extreme waarden heeft. Verhoog de parameter c maar eens. Verklaar wat je ziet. Bij welke waarden van c heb je geen extreme waarden (toppen) meer? Is er wel altijd een buigpunt? Verklaar!
     

2. Verkenning van de derdegraadskromme   f (x) =  ax³ + bx² + cx + d.
   Deze formule bestaat uit en zuiver derdegraads gedeelte ax³, een zuiver kwadratisch gedeelte bx² en een lineair gedeelte cx + d. Samen vormen zij de derdegraadskromme  f (x).
   Schakel het grafiekenprogramma over naar Mode 5 en voer handmatig of met een druk op de  Invoerknop de volgende vier functievoorschriften en de startwaarden voor de parameters en het Kijkscherm in:
       

   1.  f (x) =    ax³ + bx² + cx + d.

   2. g (x) =  ax³, het derdegraads gedeelte van f (x).

   3. h (x) = bx², het kwadratische gedeelte van f (x).

   4. k (x) = cx + d, het lineaire gedeelte van f (x).

   De startwaarden voor de parameters zijn a = 1, b = 3, c = 1 en d = 1. De parameters zijn zo gekozen dat er een 'dip' in de grafiek zit.
   Kies voor het interval op de x-as [10; 10],  dus X_min = 10 en X_max = 10.
   Voor het interval op de y-as nemen we [10; 10], dus Y_min = 10 en Y_max = 10.

   Er geldt  f (x) = g (x) + h (x) + k (x). De grafiek van f (x) is de somgrafiek van g (x), h (x) en k (x). Varieer de parameters  a, b, c en d en onderzoek hoe de grafieken onderling samenhangen. Wat gebeurt er als je a varieert? En wat als je b, c en d verandert? Geef een verklaring voor datgene wat je ziet.
      

3. Voer in Mode 1 het volgende functievoorschrift in:

    f (x) = a(x b q)(x q)(x + b q) + p

   met als startwaarden a = 1, b = 2, q = 0 en p = 0 en vul voor de variabele x alvast x = q in. Vink ook de x- en f (x)-haarlijn aan. Voer de gegevens handmatig of met een druk op de  Invoerknop in.

   1. Verklaar de ligging van de snijpunten met de x-as

   2. Varieer a en geef een verklaring voor wat je ziet.

   3. Varieer p en q. Geef een verklaring voor wat je ziet.Verklaar waarom het punt (p, q) op de grafiek ligt. Het punt (p, q) is een bijzonder punt van de grafiek. Welk?

   4. Varieer b en geef een verklaring voor wat je ziet

   Met behulp van de parameters heb je grote invloed op de vorm en ligging van de derdegraads kromme.