Inleiding Bij de grafiek van een gegeven functie f (x)
kun je bij elke waarde van x de helling van de raaklijn in
het bijbehorende punt van de grafiek toevoegen. Zo krijg je een
nieuwe functie, die we heel toepasselijk de hellingsfunctie
noemen. In veel wiskundeboeken wordt in plaats van het woord
hellingsfunctie de term 'afgeleide functie' gebruikt. De
wiskundige notatie hiervan is f '(x) om aan te geven
dat deze functie afgeleid is van f (x). Bij Helling en raaklijn
hebben we al gezien dat we de helling van de raaklijn kunnen
uitrekenen met de limiet:
f
'(x) = =
In plaats van f
'(x) wordt ook wel de notatie
of
gebruikt. Het berekenen van de afgeleide functie heet differentiëren.
Omdat het niet erg handig is om steeds voor iedere functie bij elk
punt P(x, y) van de grafiek deze
limiet uit te moeten rekenen, hebben we een aantal regels waarmee
we functies kunnen differentiëren. Het onderstaande
computerprogramma rekent automatisch volgens deze regels de
afgeleide functie f '(x) voor ons uit. Desgewenst
kun je ook de grafiek van f '(x) laten tekenen.
Ga het volgende
voorbeeld met het onderstaande programma na. Onderaan deze
webpagina staat een opgave die je met
het grafiekenprogramma kunt oplossen. Voordat je aan de slag gaat
kun je, als je dat nog niet gedaan hebt, desgewenst de
volgende onderwerpen doornemen:
Voorbeeld Als voorbeeld nemen we een derdegraadsfunctie f
(x) = x3x2
3x + 2. De computernotatie van deze functie is: f (x)
= x^3 x^2
3x+2. Voor het interval op de x-as nemen we [5;
5], dus Xmin = 5
en Xmax = 5. Op de y-as nemen we het
interval [5;
5], dus Ymin = 5
en Ymax = 5. Schakel het programma naar Mode
3, zodat ook de afgeleide functie f '(x) in beeld
komt. Om ook deze grafiek in beeld te krijgen vink je de checkbox
bij Grafiek f '(x)
aan.
Voer in
onderstaand programma het functievoorschrift en de overige
gegevens handmatig of met een klik op de
in.
Je ziet na het
invoeren van de gegevens dat de grafiek van deze functie een
derdegraadskromme is. Het programma heeft het functievoorschrift
van de afgeleide functie berekend:
f
'(x) = 3x^2
2x
3
De grafiek van f
'(x) is een dalparabool. We gaan het verband tussen de
grafiek van f (x) en f '(x)
onderzoeken.
Vul voor x
= 2
en sx = 0.01 in. Vink de x-haarlijn en de f (x)-haarlijn
aan om het bijbehorende punt (x, f (x)) op de
grafiek te markeren. Vink ook de raaklijn in (x, f (x))
aan.
We zien dat f (2)
= 4
en de helling van de raaklijn is f '(2)
= = 13.
Verhoog nu de waarde van x stapsgewijs met de Up/Down knop en let op het verband tussen de stand van de
raaklijn en de waarde van .
Er zijn een paar belangrijke zaken die opvallen:
Daar waar de
grafiek van f (x) omhoog loopt is 0
= 0 in het maximum en het minimum van de grafiek van f
(x)
Daar waar de
grafiek van f (x) omlaag loopt is
0
Het minimum
van
correspondeert met het buigpunt in f (x).
-
Het begrip "stijgend" Als f '(xA)
0 in het punt A (xA, yA
) dan noemen we f (x) stijgend in in het punt A (xA,
yA ).
-
Het begrip "dalend" Als f '(xA)
0 in het punt A (xA, yA
) dan noemen we f (x) dalend in het punt A (xA,
yA ).
-
Het begrip "uiterste waarde"
Als f '(xA) = 0 kan de functie in A (xA,
yA ) stijgend of dalend zijn maar er kan ook
sprake van een maximum of een minimum zijn.
Opgave
a) Bepaal
met het programma de gemiddelde helling van f (x) =
log x op het interval [0.5; 2].
b) Bepaal
de helling van de raaklijn voor x = l en geef ook de
coördinaten van het raakpunt.
Middelwaardestelling
Er is een stelling die zegt dat als f (x) voor elke x
op een interval differentieerbaar is, er op dit interval minstens
één punt P moet waarin geldt dat f (xP)
gelijk is aan de gemiddelde helling van f (x)
op dit interval. Deze stelling heet de middelwaardestelling.
c) Probeer
dit punt op het interval [0.5; 2] te benaderen.
Wiskunde online ----- is speciaal ontworpen voor:
Microsoft
Internet Explorer 5.5 of hoger
Beeldschermresolutie minimaal 800×600
JavaScript-Interpretatie ingeschakeld!
Bijgewerkt:
= 
of 
gebruikt. Het berekenen van de afgeleide functie heet differentiëren.
Omdat het niet erg handig is om steeds voor iedere functie bij elk
punt 
x2 
5;
5], dus Xmin = 
x^2
2x 
Up/Down knop en let op het verband tussen de stand van de
raaklijn en de waarde van 
0
0