linker hoekje rechter hoekje

De stelling van Pythagoras

1. Inleiding
Mensen zijn bouwers. Duizenden jaren geleden zijn mensen al begonnen met het construeren van tempels, piramiden en andere bouwwerken. Daarbij spelen de eigenschappen van elementaire meetkundige figuren een belangrijke rol. De driehoek en vooral de rechthoekige driehoek is zo'n elementaire vorm.
Één van de eerste problemen die bij de bouw opgelost moest worden, was de vraag hoe je in het terrein een rechte hoek uitzet. In de tijd van de Griekse filosoof en wiskundige Pythagoras van Samos (ca. 569 BC - ca. 475 BC) gebruikten Egyptische landmeters - zgn. harpedonaptai, touwspanners - een zeer lang touw, waarin dertien knopen op gelijke onderlinge afstanden waren aangebracht. Het touw werd zo verdeeld in 3 + 4 + 5 = 12  gelijke stukken. Zie figuur 1.

Dit touw werd bij de knopen B en C aan de grond gepend. Vervolgens werden de stukken BA en CA' zodanig gespannen, dat de knopen A en A' samenvielen. Zie figuur 2.

In dit punt A = A' werd dan een derde pen in de grond geslagen. De hoek bij B is dan recht, omdat de verhouding van de afstanden tussen de drie pennen 3 : 4 : 5 is. Volgens de stelling van Pythagoras, zie verderop, geldt inderdaad 32 + 42 = 52. Een driehoek waarvan de lengten van de zijden zich verhouden als 3 : 4 : 5 wordt daarom soms ook wel de Egyptische driehoek genoemd. Men kent ook de Indische driehoek
waarbij de lengten van de zijden zich verhouden als 5 : 12 : 13.
De hoek tegenover de langste zijde is dan recht omdat ook hier volgens de stelling van Pythagoras geldt: 52 + 122 = 132

Omhoog

2. De stelling van Pythagoras
In een rechthoekige driehoek wordt het verband tussen de lengten a en b van de twee rechthoekszijden en de lengte  c van de schuine zijde gegeven door:  a2 + b2 = c2
De zijde c noemen we ook wel de hypotenusa.

De stelling van Pythagoras is een belangrijke stelling. Bij tal van berekeningen en bewijzen van andere stellingen wordt gebruik gemaakt van de stelling van Pythagoras Dit is dan ook de reden dat deze stelling als één van de eersten behandeld wordt in de basisvorming van het voortgezet onderwijs.

Er bestaan vele tientallen bewijzen van de stelling van Pythagoras. De meeste bewijzen berusten op het vergelijken van oppervlakten. Een van de eenvoudigste vormen maakt gebruik van vier gelijke rechthoekige driehoeken. Telkens zijn een korte en een lange zijde in elkaars verlengde geplaatst. Hier gaan we straks bij ons bewijs gebruik van maken. Maar eerst een paar belangrijke eigenschappen en hulpstellingen die nodig zijn bij het bewijs..

Omhoog

3. Eigenschappen en hulpstellingen
Bij een (wiskundig) bewijs mag je alleen gebruik maken van eigenschappen die onomstotelijk vaststaan of hulpstellingen die bewezen zijn. Je mag bij een bewijsvoering nooit 'zomaar' iets aannemen, ook al 'lijkt' het op het eerste gezicht nog zo vanzelf- sprekend. Voordat we de stelling van Pythagoras gaan bewijzen zetten we dan ook eerst even een aantal eigenschappen en hulpstellingen, die we bij het bewijs van de stelling zullen gebruiken, op een rijtje.

Eigenschap 1:

De oppervlakte van een rechthoek is gelijk aan het product van de lengte en de breedte.

In formulevorm: Opp = a × b

    

Eigenschap 2:

De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van de lengte van een zijde.

In formulevorm: Opp = l × l = l2

 

Hulpstelling 1:

De oppervlakte van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de helft van het product van de lengten van de rechthoekszijden.
In formulevorm: Opp = ab

   

Hulpstelling 2:

De som van de hoeken van driehoek is 180°   

In formulevorm:  + + = 180°

     

Hulpstelling 3:

De som van de twee scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek is 90°   
In formulevorm: + = 90°
Dit is een rechtstreeks gevolg van hulpstelling 2

Dit zijn in principe de eigenschappen en hulpstellingen die we nodig hebben om de stelling van Pythagoras te bewijzen.

Omhoog

4. Het bewijs van de stelling van Pythagoras

Stap 1:

Teken een vierkant waarvan de lengte van de zijden gelijk aan a + b is.
De oppervlakte van dit vierkant is Opp = (a + b)(a + b) = a2 + 2ab + b2
Dit volgt uit eigenschap 2 voor vierkanten.

Stap 2:

Teken in dit vierkant vier rechthoekige driehoeken waarvan de lengten van de rechthoekszijden gelijk aan a en b zijn. De schuine zijde van deze driehoeken is c. De oppervlakte van zo'n rechthoekige driehoek is volgens hulpstelling 1
gelijk aan Opp = ab.

Zo ontstaat de vierhoek PQRS waarbij PQ = QR =RS = SP = c.               
De oppervlakte van PQRS = a2 + 2ab + b2 - (ab + ab + ab + ab)
                                         = a2 + 2ab + b2 - 2ab
                                         = a2 + b2

Stap 3:

Het enige dat we nu nog moeten aantonen is dat vierhoek PQRS een vierkant is. Dan is namelijk de oppervlakte van PQRS volgens hulpstelling 4 ook gelijk aan c2 en is de stelling van Pythagoras a2 + b2 = c2 bewezen. Ik heb veel bewijzen gezien waar deze stap wordt overgeslagen en er meteen zonder bewijs beweerd wordt dat PQRS een vierkant is.

Er geldt PQR = QRS = RSP = SPQ = gestrekte hoek - ( + )
                                                                       = 180° - 90°             (Hulpstelling 3)
                                                                       = 90°
Vierhoek PQRS is dus daadwerkelijk een vierkant en er geldt dus: a2 + b2 = c2.

Hiermee is de stelling van Pythagoras bewezen.

Omhoog

5. Opgaven

  1. Van ABC is AB = 5 cm, AC = 7 cm en A = 90°.
    Bereken BC in cm in twee decimalen nauwkeurig.
      

  2. Van PQR is PR = 12 cm, QR = 5 cm en Q = 90°.
    Bereken PQ in cm in twee decimalen nauwkeurig.
       

  3. Van KLM is KL = 30, KM = 32 en LM = 23.
    Toon aan dat M = 90°.

Maak eerst de opgaven alvorens je de antwoorden gaat bekijken.

Antwoorden en uitwerkingen

Omhoog