Inleiding
De merkwaardige producten
-
(a
+ b)2 = (a
+ b)(a
+ b) = a2
+ 2ab + b2
-
(a
- b)2 = (a
- b)(a
- b)
= a2 - 2ab + b2
-
(a
+ b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
-
(a
- b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
zijn bijzondere
gevallen van het Binomium van Newton, dat luidt:
Hierbij is n
een natuurlijk getal met n = 1, 2, 3, · · ·.
Het is zeer leerzaam om het bewijs van het Binomium van Newton
nauwkeurig en stap voor stap na te lopen, zodanig dat je het
volledig begrijpt. Je leert daarbij het somteken
te gebruiken, de eigenschappen van binomiaalcoëfficiënten
en het principe van de volledige inductie. Kortom je maakt
je hierbij een aantal belangrijke wiskundige vaardigheden eigen.
Binomiaalcoëfficiënten
Bij het Binomium van Newton spelen
binomiaalcoëfficiënten en de eigenschappen daarvan een
belangrijke rol. Daarom geven wij eerst een korte samenvatting van
de noodzakelijke kennis om het Binomium van Newton te kunnen
begrijpen.
Definitie
Stel n is een natuurlijk getal, dus n {
0, 1, 2, · · · }.
Voor een natuurlijk getal n
1 is n faculteit, genoteerd n!,
gedefinieerd als het product van de getallen van 1 tot en
met n:
n!
= 1 2
· · ·
(n - 1)
n
Verder
spreken we af dat 0! = 1.
Voorbeeld:
5! = 1 2
3 4
5 = 120
Definitie
De grootheid |
|
gedefinieerd door |
|
= |
|
noemt men |
binomiaalcoëfficiënt. Hierbij is p {
0, 1, 2, · · · , n -
1, n}.
De notatie |
|
wordt uitgesproken als n boven p. |
Voorbeeld 3: |
|
= |
|
= |
n! |
1
n! |
|
= |
|
= |
1 |
|
We
vermelden hier enkele belangrijke eigenschappen van de
binomiaalcoëfficiënten:
Voor het bewijs
van deze eigenschappen wordt verwezen naar de Appendix.
De optelregel
(Eigenschap 2) hebben we nodig bij het bewijs van het Binomium van
Newton.
Bewijzen
m.b.v. volledige inductie
Stel we moeten een formule bewijzen (zoals het Binomium
van Newton) waarin het natuurlijk getal n voorkomt,
waarbij n = 1, 2, 3, · · ·. We
willen aantonen dat de formule geldig is voor alle waarden van n.
Je zou de formule kunnen verifiëren voor n = 1, n = 2
tot en met n = 10.000. Zou de formule dan telkens
kloppen dan zou je geneigd zijn aan te nemen dat de formule juist
is voor alle waarden van n. Je weet dit echter niet zeker!
Met het principe van de volledige inductie kunnen we de formule bewijzen
voor alle n.
Het bewijs
bestaat uit twee stappen die we aanduiden met I en II.
-
Bewijs dat de
formule juist is voor n = 1.
-
Neem aan dat
de formule juist is voor n = m. Als daaruit
volgt dat de formule ook juist is voor n = m +
1, dan is de formule juist voor alle waarden van n.
Immers als de
formule juist is voor n = 1, dan is hij volgens stap II ook
juist voor n = 2. Maar dan ook voor n = 3
enzovoort. Dit noemen we inductie.
In de wiskunde
wordt veel gebruik gemaakt van het principe van de volledige
inductie om stellingen te bewijzen waarin het natuurlijk getal n
voorkomt.
Het Binomium
van Newton
Zij n een natuurlijk getal met n = 1, 2,
3, · · · dan geldt voor a,
b
0:
In verkorte vorm, gebruik makende van
het somteken
en zo krijgen we de notatie van het
Binomium van Newton zoals wij dat in wiskundeboeken tegenkomen:
Bewijs
We geven het bewijs m.b.v. het principe van de
volledige inductie.Eerst tonen we aan dat de formule juist is voor
n = 1. Gemakkelijk is na te gaan dat:
We nemen nu aan
dat de formule juist is voor n = m en gaan bewijzen
dat daaruit volgt dat de formule ook juist is voor n = m
+1. Er geldt:
We gaan nu bewijzen dat:
|
|
am + 1- p b p |
+ |
|
|
am- p b p + 1 |
|
|
|
|
am + 1- p b p |
|
We beschouwen de eerste term
van (1): |
|
|
am +
1- p b p |
|
. |
Er geldt:
|
|
|
|
|
|
We beschouwen nu de tweede
term van (1): |
|
|
am- p b p +
1 |
|
(3) |
|
|
|
Stel
p + 1 = q dan is p = q -
1. Vervangen we in (3) p door q -
1 dan gaat het somteken
|
|
over in |
|
, terwijl am-
p b p + 1 = am +
1- q bq
en |
|
= |
|
. |
We
krijgen dan
Uit (2)
en (4) volgt:
Hetgeen te
bewijzen viel!
Opgaven
Aanwijzing: (a
- b)n
= (a + (-
b))n
2. Bereken m.b.v.
het Binomium van Newton:
-
(a
+ b)4
-
(a
- b)4
-
(a
+ b)5
-
(a
- b)5
Aanwijzing: Neem
in het Binomium van Newton a
= 1 en b = 1
Appendix
|
Het bewijs van de symmetrie
eigenschap: |
|
= |
|
. Volgens de definitie
geldt: |
|
|
= |
n! |
(n
- p)!(n
- (n -
p))! |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
Hetgeen
te bewijzen viel!
|
Het bewijs van de
optelregel: |
|
+ |
|
= |
|
|
We beschouwen eerst de
term: |
|
. Er geldt: |
|
We beschouwen nu de
term: |
|
. Volgens de definitie
geldt: |
Uit
(1) en (2) volgt:
Hetgeen
te bewijzen viel!
Het bewijs van de
regel: |
|
= |
|
|
|
|
We beschouwen de
term: |
|
. Volgens de definitie
geldt: |
Hetgeen te bewijzen viel!
|