Inleiding Zo, dus je wilt weten wat de Grootste Gemene Deler
(afgekort GGD) van twee getallen is en vooral een recept hoe je
dat met een gewone zakrekenmachine of een grafische
rekenmachine snel kunt berekenen! Het woord gemene is
overigens een ouderwets woord voor gemeenschappelijk. Het 'met
pen en papier' bepalen van de GGD van twee gehele getallen was
in vroeger tijden toen er nog geen zakrekenmachientjes bestonden
een belangrijke vaardigheid om breuken te vereenvoudigen.
Stel je hebt
twee positieve gehele getallen, die we voor het gemak maar even
met a en b
aangeven. Onder een deler van a
verstaan we een positief geheel getal p1
waarvoor geldt dat a : p
= m ook weer een
positief geheel getal is. Onder een deler van b
verstaan we een geheel getal q1waarvoor geldt dat b : q
= n ook weer een
positief geheel getal is. Je begrijpt dat er een beperkt aantal
delers van a en b
zijn.
Als a
en b
gemeenschappelijke delers
1
hebben is er natuurlijk ook een Grootste
gemeenschappelijke deler (GGD) aan te wijzen. Stel G
is de GGD van a en b.
In dat geval bestaan er positieve gehele getallen m
en n waarvoor geldt a : G
= m en b : G
= n en dus:
G
= a : m
= b : n
(1)
We nemen even
aan dat ab, dan moet mn
en volgens (1) geldt dan:
=
1
(2)
Belangrijk! Als G
= a : m
= b : n
de GGD van a
en b is,
hebben m en n
geen enkele gemeenschappelijke deler. Anders zou er een
nog grotere gemeenschappelijke deler van a
en b zijn. De
breuk
is dus niet meer te vereenvoudigen! Dit is een
eigenschap van n
en m waar we
gebruik van gaan maken.
Neem
bijvoorbeeld de getallen 12 en 30. 2 is een
gemeenschappelijke deler van 12 en 30 want 12
: 2 = 6
en 30 : 2
= 15 . De getallen 6
en 15 zijn echter beide door 3 deelbaar. Dit betekent
dat 12 : 6
= 2 en 30
: 6 = 5
en dus is 6 een grotere gemeenschappelijk deler van 12
en 30. De getallen 2 en 5 hebben geen gemeenschappelijke
deler meer en dus is 6
de grootste gemeenschappelijke deler van 12 en 30.
De breuk
is dus niet meer te vereenvoudigen.
Als a = m
en b = n
dan hebben a en b
dus geen GGD!
Met deze
wetenschap hebben we de sleutel in handen om m.b.v. een moderne
zakrekenmachine op eenvoudige wijze de getallen m
en n en daarmee de
GGD van twee getallen a
en b te bepalen.
Op elke moderne
zakrekenmachine zit namelijk een voorziening om met
breuken te werken. De antwoorden die je daarbij krijgt zijn
altijd in de vorm van niet meer te
vereenvoudigen breuken. En daar gaat het ons om!
Lees de handleiding bij je rekenmachine. De belangrijkste knop
bij het werken met breuken is
.
Lees de handleiding bij je rekenmachine. Het recept om de GGD
van a en b
te bepalen is dan kort en krachtig:
Recept voor het bepalen van de GGD van twee
positieve gehele getallen a en b
Bepaal met de rekenmachine de waarde van
in de vorm van een gewone niet meer te vereenvoudigen
breuk
.
Als m a dan is G
= a : m
= b : n
de GGD van a
en b.
We gaan nu een
paar voorbeelden bekijken.
Voorbeeld We
gaan met behulp van een moderne zakrekenmachine de GGD van
128 en 168
bepalen.
Stel het getal G
is de GGD van 128 en 168.
Er bestaan dus positieve gehele getallen m
en n waarvoor geldt 128 : G = m
en 168 : G = n
Er moet dan gelden:
G
= 128 : m
= 168 : n
en dus
=
(3)
waarbij m
en n positieve gehele
getallen zijn.
Omdat 128 168 moet mn.
We gaan nu volgens ons recept de breuk
=
m.b.v. een zakrekenmachientje herleiden tot een niet te
vereenvoudigen breuk.
Type op de
rekenmachine 128
168
16
21 .
Conclusie:
=
(4)
We weten nu volgens (3) en (4) dat
=
en
dus m = 16
en n = 21.
De GGD van 128 en 168
is dus 128:16
= 168:21
= 8.
Op deze website
bevindt zich een handige rekenmachine met de naam "De
Breukenkraker" die de uitkomst van elke bewerking met
rationale getallen omzet naar een niet te vereenvoudigen breuk.
Als je hier de deling
(computernotatie 128/168)
invoert krijg je onverwijld als antwoord
.
Probeer het maar eens!
Deze
rekenmachine is dus ook handig om de GGD te bepalen. Zie ook het
onderdeel "Breuken en Computers" op deze website.
Opgave
Bereken zo
mogelijk m.b.v. de "Breukenkraker" de Grootste
Gemene Deler van:
1
waarvoor geldt dat a : p
= m ook weer een
positief geheel getal is. Onder een deler van b
verstaan we een geheel getal q
b, dan moet m
=
.
Lees de handleiding bij je rekenmachine. Het recept om de GGD
van a en b
te bepalen is dan kort en krachtig:
We
gaan met behulp van een moderne zakrekenmachine de GGD van
128 en 168
bepalen.
(3)
16
21 .
(4)