Inleiding Zo, dus je wilt weten wat het Kleinste Gemene Veelvoud
(afgekort KGV) van twee getallen is en vooral een recept hoe je
dat met een gewone zakrekenmachine of een grafische
rekenmachine snel kunt berekenen! Het woord gemene is
overigens een ouderwets woord voor gemeenschappelijk. We gaan eens
logisch nadenken!
Stel je hebt twee
positieve reële
getallen0
die we voor het gemak maar even met a
en b aangeven. Onder
een veelvoud van a
verstaan we een getal m × a
waarbij m een positief
geheel getal
0
is. Onder een veelvoud van b
verstaan we een getal n × b
waarbij n een positief
geheel getal
0
is. Je begrijpt dat er oneindig veel veelvouden van a en b
zijn. Veelvouden van 1.7 zijn bijvoorbeeld 1 ×1.7, 2
×1.7, 3 ×1.7 etc.
Als a
en b gemeenschappelijke
veelvouden hebben is er natuurlijk ook een Kleinste
Gemene Veelvoud (KGV) aan te wijzen. Stel K
is het KGV van a en b.
In dat geval bestaan er gehele getallen m
en n waarvoor geldt:
K
= m × a
= n × b
(1)
We nemen even aan
dat ab, dan moet mn en volgens (1) geldt
dan:
=
1
(2)
Belangrijk! Als K
= m × a
= n × b
het KGV van a
en b is dan
hebben m en n
geen enkele gemeenschappelijke deler. Anders zou er een
nog kleiner gemeenschappelijk veelvoud van a
en b zijn. De
breuk
is dus niet meer te vereenvoudigen! Dit is een eigenschap
van m en n
waar we gebruik van gaan maken.
Neem
bijvoorbeeld de getallen 12 en 9. 72 is een
gemeenschappelijk veelvoud van 12 en 9 want 6
× 12 = 8
× 9 = 72.
De factoren 6 en 8 zijn echter beide door 2 deelbaar. Dit
betekent dat 3 × 12
= 4 × 9
= 36 een kleiner
gemeenschappelijk veelvoud van 12 en 9 is. De factoren 3
en 4 hebben geen gemeenschappelijke deler meer en dus is
36 het kleinste gemeenschappelijke veelvoud van 12 en 9.
De breuk
is dus niet meer te vereenvoudigen.
Bovendien blijkt dat als a
en b een KGV hebben de
breuk
een rationaal
getal moet zijn, omdat
rationaal is! Als
irrationaal is hebben a
en b dus ook geen KGV!.
Met deze
wetenschap hebben we de sleutel in handen om m.b.v. een moderne
zakrekenmachine op eenvoudige wijze de getallen m
en n en daarmee het KGV
van twee getallen a en b
te bepalen.
Op elke moderne zakrekenmachine
zit namelijk een voorziening om met breuken te werken. De
antwoorden die je daarbij krijgt zijn altijd in de vorm van niet
meer te vereenvoudigen breuken. En daar gaat het ons om! De
belangrijkste knop bij het werken met breuken is de knop
.
Lees de handleiding bij je rekenmachine. Het recept om het KGV van
a en b
te bepalen is dan kort en krachtig:
Recept voor het bepalen van het KGV van a en b
Bepaal met de rekenmachine de waarde van
in de vorm van een gewone niet meer te vereenvoudigen
breuk
.
Het KGV K van a
en b is dan K
= m × a
= n × b.
We gaan nu een
paar voorbeelden bekijken.
Voorbeeld
1 We
gaan met behulp van een moderne zakrekenmachine het kleinste
gemeenschappelijke veelvoud van 3
en 1.2 bepalen.
Veelvouden van 3
zijn 3, 6,
9, 12
etc. De tafel van 3 dus.
Veelvouden van 1.2 zijn 1.2,
2.4, 3.6,
4.8 etc.
De vraag is nu of
er veelvouden van 3 zijn die
ook een veelvoud van 1.2 zijn
en zo ja welke de kleinste is. Stel het getal K
is het KGV van 3 en 1.2.
Er moet dan gelden:
K
= m × 1.2
= n × 3
en dus
=
(3)
waarbij m
en n positieve gehele
getallen zijn. Omdat 1.2 3 moet nm. We gaan nu volgens
ons recept de breuk
=
m.b.v. een zakrekenmachientje herleiden tot een niet te
vereenvoudigen breuk.
Type op de
rekenmachine
1
2
10
3
2
5 . Let op de haakjes!
Conclusie:
=
(4)
We weten nu volgens (3) en (4) dat
=
en dus m = 5
en n = 2.
Het KGV K van 3
en 1.2 is dus K
= 5× 1.2 = 2× 3 = 6.
Op deze website
bevindt zich een handige rekenmachine met de naam "De
Breukenkraker" die de uitkomst van elke bewerking met
rationale getallen omzet naar een niet te vereenvoudigen breuk.
Als je hier de deling
(computernotatie 1.2/3)
invoert krijg je onverwijld als antwoord
.
Probeer het maar eens!
Deze rekenmachine
is dus ook handig om het KGV te bepalen. Zie ook het onderdeel
"Breuken en Computers" op deze website.
Voorbeeld
2
Een probleem dat vaak voorkomt is het bepalen van de periode van
een trilling die is samengesteld uit twee harmonische trillingen
met verschillende periodes. Stel je hebt bijvoorbeeld een
samengestelde trilling u = u1 + u2
met u1 = sin(10t)
en u2 = sin(11t).
Voor de periode T1
van u1 geldt 10T1
= 2.
Daaruit volgt T1
=
.
Voor de periode T2
van u2 geldt 11T2
= 2.
Daaruit volgt T2
=
.
De periode T van u
is het KGV van T1
en T2.
Er moet dan gelden:
T
= n × T1
= m × T2
en dus
=
(5)
waarbij n
en m positieve gehele
getallen zijn. Bovendien zijn er geen kleinere getallen voor n
en m te vinden waarvoor
hetzelfde geldt! Omdat T1T2 moet nm.
We gaan nu
volgens ons recept de deling T2
: T1 = ()
: ()
m.b.v. een zakrekenmachientje herleiden tot een niet te
vereenvoudigen breuk.
Type op de
rekenmachine
2
11
2
10
10
11 . Let op de haakjes! Conclusie:
=
(6)
We weten nu
volgens (5) en (6) dat
=
en dus n = 10
en m = 11.
Het KGV T van T1
en T2 is dus
T = 10× T1
= 11× T2
en dus
T
= 10×
= 11×
= 2.
Dit is niets anders
dan kruiselings vermenigvuldigen in(6). De periode van de
samengestelde trilling u is dus T
= 2.
Opgaven
Bereken
m.b.v. een zakrekenmachine of de "Breukenkraker" het
Kleinste Gemene Veelvoud van:
21 en 57
0.12 en 5
10.36 en
9.6
Bepaal m.b.v.
een zakrekenmachine of de "Breukenkraker"de periode
van de volgende samengestelde harmonische trillingen
u(t)
= sin(6t) + cos(15t)
u(t)
= sin(2.46t)
+ cos(1.5t)
u(t)
= sin(-1.4t)
+ cos(1.2t)
+ sin(3.25t)
Welke
getallenparen hebben een KGV en welke niet? Bereken zo
mogelijk het KGV.
0
die we voor het gemak maar even met a
en b aangeven. Onder
een veelvoud van a
verstaan we een getal m × a
waarbij m een positief
geheel getal
b, dan moet m
n en volgens (1) geldt
dan:
=
.
Lees de handleiding bij je rekenmachine. Het recept om het KGV van
a en b
te bepalen is dan kort en krachtig:
We
gaan met behulp van een moderne zakrekenmachine het kleinste
gemeenschappelijke veelvoud van 3
en 1.2 bepalen.
(3)
2
5 . Let op de haakjes!
(4)
t)
en
.
.
=
(6)
8
en 5