Kwadratische vergelijkingen van het type ax² + bx + c = 0
oplossen d.m.v. ontbinden in factoren

Inleiding
De vergelijking 5x² + 2  =  2x + 7 is een voorbeeld van een kwadratische vergelijking. In plaats van kwadratische vergelijking spreken we ook wel van vierkantsvergelijking. In een kwadratische vergelijking komen dus kwadratische termen zoals in dit geval  5x² voor. Er komen geen derdegraads termen zoals 2x³ of nog hogere machten van x in voor.

Elke kwadratische vergelijking kan altijd tot één van de drie onderstaande typen herleid worden.

1. x² = p

2. ax² + bx = 0

3. ax² + bx + c = 0

In type 2 en 3 komen ook nog eerstegraads termen van x voor en zijn beide op 0 herleid, d.w.z. zij eindigen beide op ... = 0. Bij type 1 hoeft de waarde van p niet gelijk aan 0 te zijn. Bij het oplossen of herleiden van vergelijkingen moet je in ieder geval een aantal basisregels in acht nemen.

• Je mag bij beide leden van de vergelijking hetzelfde getal optellen of van beide leden hetzelfde getal aftrekken.

• Je mag beide leden van de vergelijking met hetzelfde getal 0 vermenigvuldigen of door hetzelfde getal 0 delen.

We noemen dit ook wel het "weegschaalmodel" omdat de balans in evenwicht blijft als je aan beide kanten van de weegschaal maar dezelfde gewichten toevoegt of weghaalt.

• Kwadratische vergelijkingen los je op door ze eerst tot één van bovengenoemde typen (type 1, 2 of 3) te herleiden.

Type 1 en 2 kunnen daarna volgens vaste regels opgelost worden. Bij type 3 hangt de oplossingsmethode een beetje af van de waarden van a, b en c en of je daarbij herkent welke oplossingsmethode het makkelijkst is. De makkelijkste methode is "ontbinden in factoren", maar deze kan lang niet altijd toegepast worden. Een methode die wel altijd toegepast kan worden is het gebruik van de abc-formule.

Alle soorten kwadratische vergelijkingen en hun oplossingsmethoden worden op deze website behandeld en kun je via het "Lessen online" menu bereiken.

Kwadratische vergelijkingen van het type ax² + bx + c = 0
Als je bij het herleiden van een kwadratische vergelijking op dit type uitkomt, waarbij dus
a, b en c0, moet je er bij het herleiden altijd naar streven dat a, b en c zo klein mogelijke gehele getallen worden. Dit kan natuurlijk niet altijd maar probeer er bij het herleiden in ieder geval voor te zorgen dat a een positief geheel getal wordt. Je kunt de volgende gevallen krijgen:

1. a = 1,  b en c gehele getallen

2. Alle overige gevallen

In geval I probeer je eerst te ontbinden in factoren. Deze methode zullen we op deze webpagina behandelen. Lukt dit niet op een makkelijke manier dan pas je de abc-formule toe. In alle overige gevallen is het aan te raden om altijd de abc-formule toe te passen.

Ontbinden in factoren van x² + bx + c = 0,  b en c gehele getallen 0
Als je bij het herleiden van een kwadratische vergelijking op de vorm

x² + bx + c = 0

uitkomt, waarbij b en c gehele getallen zijn, bestaat de kans dat je zo'n kwadratische vergelijking kunt ontbinden in factoren. Dat wil zeggen dat het misschien mogelijk is dat je de vergelijking als een product van twee factoren kunt schrijven, dus in de vorm

(x + p)(x + q) = 0

waarbij p en q ook weer gehele getallen zijn. Je moet niet denken dat dit altijd kan, maar de kans bestaat. Als je op deze manier kunt ontbinden in factoren is de vergelijking snel opgelost, want dan geldt:

x + p = 0  of  x + q = 0
en dus
x = -p  of  x =  -q

We zullen straks een paar voorbeelden bekijken. Eerst gaan we echter onderzoeken wat het verband tussen p, q, b en c is. Dat is gemakkelijk uit te vinden want als je kunt ontbinden in factoren dan moet gelden:

en dus

p + q = b en  pq = c

Als je wilt ontbinden in factoren moet je dus zoeken naar twee getallen p en q waarvan het product gelijk aan c is en waarvan de som gelijk aan b is. Als dat niet lukt moet je de vergelijking met de abc-formule oplossen.

We zullen met een drietal voorbeelden nagaan hoe dat in de praktijk in zijn werk gaat.

Voorbeeld 1
Als eerste voorbeeld nemen we het veelgebruikte voorbeeld x² + 5x + 6 = 0. We gaan proberen te ontbinden in factoren.

1. Zoek twee gehele getallen waarvan het product 6 en de som 5 is. Na enig nadenken kom je al snel tot de conclusie dat dit de getallen 2 en 3 zijn, want
   2 · 3 = 6 en 2 + 3 = 5.

2. Je kunt de vergelijking dus oplossen d.m.v. ontbinden in factoren.

x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) = 0

Daaruit volgt:

x + 2 = 0  of  x + 3 = 0
en dus
x = -2   of  x = -3

Voorbeeld 2
Het tweede voorbeeld is wat ingewikkelder en we zullen dit aangrijpen om te laten zien hoe je op een systematische manier de gezochte getallen kunt vinden. Los op:

x² + 4x - 96 = 0

We gaan weer proberen te ontbinden in factoren.

1. We zoeken twee getallen waarvan het product -96 en de som 4 is. Die vind je niet zomaar. In zo'n geval is het gebruikelijk om een tabel te maken met alle mogelijke gehele getallen waarvan het product -96 is. Bij elk product reken je ook de som uit totdat je de juiste combinatie gevonden hebt.
   

   Product	Som
   p · q = -96	p + q
   -1 · 96 = -96	-1 + 96 = 95
   1 · -96 = -96	1 + -96 = -95
   -2 · 48 = -96	-2 + 48 = 46
   2 · -48 = -96	2 + -48 = -46
   -4 · 24 = -96	-4 + 24 = 20
   4 · -24 = -96	4 + -24 = -20
   -6 · 16 = -96	-6 + 16 = 10
   6 · -16 = -96	6 + -16 = -10
   -8 · 12 = -96	-8 + 12 = 4
   We kunnen stoppen want we hebben de juiste combinatie gevonden!

    

2. Je kunt de vergelijking dus oplossen d.m.v. ontbinden in factoren.

x² + 4x - 96 = (x -8)(x + 12) = 0

Daaruit volgt:

x - 8 = 0  of  x + 12 = 0
en dus
x = 8   of  x = -12

Voorbeeld 3
Het derde voorbeeld laat zien dat het ook wel eens niet kan! Los op:

x² + 4x - 94 = 0

We gaan weer proberen te ontbinden in factoren.

1. We zoeken twee getallen waarvan het product -94 en de som 4 is. Die vind je niet zomaar. In zo'n geval is het gebruikelijk om een tabel te maken met alle mogelijke gehele getallen waarvan het product -94 is. Bij elk product reken je ook de som uit totdat je de juiste combinatie gevonden hebt.
   

   Product	Som
   p · q = -94	p + q
   -1 · 94 = -94	-1 + 94 = 93
   1 · -94 = -94	1 + -94 = -93
   -2 · 47 = -94	-2 + 47 = 45
   2 · -47 = -94	2 + -47 = -45
   We kunnen stoppen want 47 is een priemgetal en er zijn dus ook geen andere producten meer! We hebben de gewenst combinatie dus niet gevonden!

    

2. Je kunt de vergelijking dus niet oplossen d.m.v. ontbinden in factoren. We zullen onze toevlucht moeten nemen tot de abc-formule.

3. Schrijf nu de waarden van a, b en c op die je nodig hebt om met de abc-formule de oplossingen te kunnen berekenen. Je krijgt dan:

a = 1, b = 4 en c = -94

4. Bereken nu de waarde van de discriminant D =  b² - 4ac om te zien of er wel oplossingen zijn. Je vindt dan:

D	= b2 - 4ac
	= 42 - 4 · 1 · -94
	= 16 + 376
	= 3920, er zijn dus twee oplossingen.

5. Bereken nu de oplossingen met de abc-formule. Je krijgt dan:

x =

-b -D 2a

of  x =

-b +D 2a

Invullen van de waarden van  a, b en D geeft dan:

x =

-4 -392 2 · 1

of  x =

-4 + 392 2 · 1

en dus

x =	-4 -392 2	of  x =	-4 + 392 2

x =	-4 -(4 · 98) 2	of  x =	-4 + (4 · 98) 2

x =	-4 -4 · 98 2	of  x =	-4 + 4 · 98 2

x =	-4 - 2 · 98 2	of  x =	-4 + 2 · 98 2

x = -2 - 98    of   x = -2 + 98

Opgaven

1.       Los op d.m.v. ontbinden in factoren

   1. x² + 5x + 4 = 0

   2. x² + 4x - 5 = 0

   3. x² - x - 30 = 0

   4. x² - 24x - 52 = 0

   5. x² - 4x - 12 = 0

   6. x² + 5x - 50 = 0
          

2.     Los op d.m.v. ontbinden in factoren

   1. x² - 7x - 18 = 0

   2. x² + 5x = 6

   3. x² + x = 3x + 15

   4. 4x² = 8x

   5. x² = x + 2

   6. (x - 1)(x - 2) = 12

Maak eerst zelf de opgaven alvorens je de uitwerkingen gaat bekijken.

Uitwerkingen