Inleiding
De abc-formule
wordt gebruikt bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen.
De vergelijking 5x2
+ 2 = 2x + 7 is
een voorbeeld van een kwadratische vergelijking. In plaats
van kwadratische vergelijking spreken we ook wel van vierkantsvergelijking.
In een kwadratische vergelijking komen dus kwadratische termen
zoals in dit geval 5x2
voor. Er komen geen derdegraads termen zoals 2x3
of nog hogere machten van x in
voor.
Elke kwadratische
vergelijking kan altijd tot één van de drie onderstaande
typen herleid worden.
-
x2
= p
-
ax2
+ bx
= 0
-
ax2
+ bx
+ c = 0
In type 2 en 3
komen ook nog eerstegraads termen van x
voor en zijn beide op 0 herleid, d.w.z. zij eindigen beide op ...
= 0. Bij type 1 hoeft de waarde van p
niet gelijk aan 0 te zijn. Bij het het herleiden van kwadratische
vergelijkingen naar één van de bovenstaande standaardvormen moet
je in ieder geval een aantal basisregels in acht nemen.
-
Je mag bij
beide leden van de vergelijking hetzelfde getal optellen of
van beide leden hetzelfde getal aftrekken.
-
Je mag beide
leden van de vergelijking met hetzelfde getal
0
vermenigvuldigen of door hetzelfde getal
0
delen.
We noemen dit
ook wel het "weegschaalmodel" omdat de balans in
evenwicht blijft als je aan beide kanten van de weegschaal maar
dezelfde gewichten toevoegt of weghaalt.
Type 1 en 2
kunnen daarna volgens vaste regels opgelost worden. Hierbij heb je
de abc-formule
niet nodig. Bij type 3 hangt de oplossingsmethode een beetje af
van de waarden van a, b
en c en of je daarbij zelf
herkent welke oplossingsmethode het makkelijkst is. De
makkelijkste methode is "ontbinden in factoren",
maar deze kan lang niet altijd toegepast worden. Een methode die
wel altijd toegepast kan worden is het gebruik van de abc-formule.
Alle
soorten kwadratische vergelijkingen en hun oplossingsmethoden
worden op deze website behandeld en kun je via het
"Lessen online" menu bereiken.
Kwadratische
vergelijkingen van het type ax2
+ bx
+ c = 0
Als je bij het herleiden van een kwadratische vergelijking op
dit type uitkomt, waarbij dus
a, b
en c 0,
moet je er bij het herleiden altijd naar streven dat a,
b
en c
zo klein mogelijke gehele getallen worden. Dit kan
natuurlijk niet altijd maar probeer er bij het herleiden in ieder
geval voor te zorgen dat a een
positief geheel getal wordt. Je kunt de volgende gevallen
krijgen:
-
a
= 1, b
en c gehele
getallen
-
Alle
overige gevallen
In geval I
probeer je eerst te ontbinden in factoren. Lukt dit niet op
een makkelijke manier dan pas je de abc-formule
toe. In alle overige gevallen is het aan te raden om altijd de abc-formule
toe te passen. Op deze webpagina gaan we de abc-formule
behandelen en een paar voorbeelden bekijken.
De abc-formule
De abc-formule
kan in alle gevallen gebruikt worden. De abc-formule
is al heel oud, stokoud. Zodra een beschaving zich met wiskunde
ging bezighouden was dit één van de eerste formules die ze
gingen afleiden. Iedereen wil namelijk graag kwadratische
vergelijkingen op een zo handig mogelijke manier oplossen! Niet
omdat het zo'n leuke hobby is, maar gewoon omdat allerlei
praktische problemen m.b.v. kwadratische vergelijkingen makkelijk
op te lossen zijn. Na enig gepuzzel en logisch nadenken komt men
dan tot de volgende formule voor de oplossingen van de
kwadratische vergelijking:
ax2
+ bx
+ c = 0
Dit noemt men de abc-formule
en het bewijs voor deze formule wordt elders op deze website
gegeven.
In deze formules
komt een belangrijke term
voor. We weten dat
niet bestaat als b2
- 4ac
0. Want worteltrekken uit een negatief getal kan niet! We komen
dan tot de volgende slotsom:
-
Als b2
- 4ac
0 heeft de vergelijking ax2
+ bx
+ c = 0 geen
oplossingen.
-
Als b2
- 4ac
= 0 dan is
= 0 en is er maar één
oplossing,
namelijk x
=
.
-
Als b2 - 4ac0
zijn er twee verschillende
oplossingen.
|
Omdat de waarde
van de term b2 - 4ac
beslissend is of er oplossingen bestaan en hoeveel het er zijn
noemen we b2 - 4ac
dan ook wel de discriminant van de kwadratische
vergelijking en we schrijven:
D
= b2
- 4ac
Het
is dan ook handig om bij het oplossen van een kwadratische
vergelijking eerst de discriminant uit te rekenen. Dan weet je
tenminste waar je aan toe bent.
We
schrijven de abc-formule
daarom ook wel in de vorm:
- D0
geen oplossingen
- D = 0 één oplossing
- D0
twee oplossingen
|
We
gaan nu een aantal voorbeelden bestuderen om een beter idee te
krijgen over het gebruik van de de abc-formule.
Voorbeeld
1
Als eerste voorbeeld nemen we de kwadratische vergelijking 8x2
+ 20x
= 28. Bij het oplossen ga je
systematisch te werk.
-
Herleid
de vergelijking tot de vorm ax2
+ bx
+ c = 0. Je krijgt dan:
8x2
+ 20x
- 28
= 0
-
Kijk
of je de vergelijking nog verder kunt herleiden. In dit geval
kun je alle termen nog door 4
delen. Je krijgt dan:
2x2
+ 5x
- 7 =
0
-
Schrijf
nu de waarden van a, b
en cop
die je nodig hebt om met de abc-formule
de oplossingen te kunnen berekenen. Je krijgt dan:
a
= 2, b
= 5 en c=
-7
-
Bereken
nu de waarde van de discriminant D = b2
- 4ac
om te zien of er wel oplossingen zijn. Je vindt dan:
D |
= b2
- 4ac |
|
= 52 -
4 · 2 ·
-7 |
|
= 25 + 56
Let op! --
= + |
|
= 810,
dus er zijn twee oplossingen. |
-
Bereken
nu de oplossingen met de abc-formule.
Je krijgt dan:
Invullen van de waarden van a,
b
en D geeft dan:
en dus na enig rekenen waarbij o.a. 81
= 9 en 2 · 2 = 4 krijg
je:
x = -3
òf x = 1
Voorbeeld
2
Het tweede voorbeeld is de kwadratische vergelijking -18x2
- 50
= 60x.
Bij het oplossen ga je weer systematisch te werk.
-
Herleid
de vergelijking tot de vorm ax2
+ bx
+ c = 0, waarbij a0.
Je krijgt dan:
18x2
+ 60x
+ 50 = 0
-
Kijk
of je de vergelijking nog verder kunt herleiden. In dit geval
kun je alle termen nog door 2
delen. Je krijgt dan:
9x2
+ 30x
+ 25 = 0
-
Schrijf
nu de waarden van a, b
en c op die je nodig hebt
om met de abc-formule
de oplossingen te kunnen berekenen. Je krijgt dan:
a
= 9, b
= 30 en c =
25
-
Bereken
nu de waarde van de discriminant D = b2
- 4ac
om te zien of er wel oplossingen zijn. Je vindt dan:
D |
= b2
- 4ac |
|
= 302 -
4 · 9 ·
25 |
|
= 900 -
900 |
|
= 0, dus er is slechts
één oplossing. |
-
Bereken
nu de oplossingen met de abc-formule.
Je krijgt dan:
Invullen van de waarden van a,
b
en D geeft dan:
en dus na enig rekenen waarbij o.a. 0
= 0 en 2 · 9 = 18
krijg je:
x = -
= -1
= -1
Voorbeeld
3
Het derde voorbeeld is de kwadratische vergelijking 18x2
+ 50 = 30x.
Bij het oplossen ga je weer systematisch te werk.
-
Herleid
de vergelijking tot de vorm ax2
+ bx
+ c = 0, waarbij a0.
Je krijgt dan:
18x2
- 30x
+ 50 = 0
-
Kijk
of je de vergelijking nog verder kunt herleiden. In dit geval
kun je alle termen nog door 2
delen. Je krijgt dan:
9x2
- 15x
+ 25 = 0
-
Schrijf
nu de waarden van a, b
en c op die je nodig hebt
om met de abc-formule
de oplossingen te kunnen berekenen. Je krijgt dan:
a
= 9, b
= -15
en c = 25
-
Bereken
nu de waarde van de discriminant D = b2
- 4ac
om te zien of er wel oplossingen zijn. Je vindt dan:
D |
= b2
- 4ac |
|
= (-15)2
- 4 · 9
· 25 |
|
= 225 -
900 |
|
= -6750,
er is dus geen oplossing. |
-
We
kunnen nu stoppen met de mededeling:
Geen oplossing.
Opgaven
- Los op
-
4x
-
5 = 6x2 -
7
-
9x
+ 7 = 6(x2 -
1)
-
4x2
-
4 = 3(2x -
1)
-
8(x2
-
1) = 4(2 -
x) -
16
-
3(x
-
2) = 5(x2 -
3) -
9
-
5x2
-
3 = 3(x -
1)
-
Los op
-
2(3x2
-
1) = x -
(2x -
14)
-
2.8x
+ 2 = 5.3x2 -
1.5
-
0.3x
-
2.1 = 5 -
1.7(x2 -
1)
-
3x
-
1 = 2x2 -
(x -
8)
Maak eerst zelf de
opgaven alvorens je de uitwerkingen gaat bekijken.
Uitwerkingen
|