linker hoekje rechter hoekje

Kwadratische vergelijkingen van het type ax2 + bx = 0

     
    Inhoud

  Hoofdmenu  
Kwadratische vergelijkingen 
   De abc-formule
   Type x2 = c
   Type ax2 + bx = 0
    Type ax2 + bx +c = 0
      De abc-formule
      Ontbinden in factoren
      Kwadraatafsplitsen
    Bewijs vd abc-formule
    Oplossings-stroomschema 
  1. Inleiding
  2. Kwadratische vergelijkingen van
    het type a
    x2 + bx = 0
  3. Opgaven
  4. Uitwerkingen

Inleiding
De vergelijking 5x2 + 2  =  2x + 7 is een voorbeeld van een kwadratische vergelijking. In plaats van kwadratische vergelijking spreken we ook wel van vierkantsvergelijking. In een kwadratische vergelijking komen dus kwadratische termen zoals in dit geval  5x2 voor. Er komen geen derdegraads termen zoals 2x3 of nog hogere machten van x in voor.

Elke kwadratische vergelijking kan altijd tot één van de drie onderstaande typen herleid worden.

  1. x2 = p

  2. ax2 + bx = 0

  3. ax2 + bx + c = 0

Op deze webpagina gaan we type 2 bestuderen.
In type 2 en 3 komen ook nog eerstegraads termen van x voor en zijn beide op 0 herleid, d.w.z. zij eindigen beide op .... = 0. Bij type 1 hoeft de waarde van p niet gelijk aan 0 te zijn. Bij het het herleiden van kwadratische vergelijkingen naar één van de bovenstaande standaardvormen moet je in ieder geval een aantal basisregels in acht nemen.

  • Je mag bij beide leden van de vergelijking hetzelfde getal optellen of van beide leden hetzelfde getal aftrekken.

  • Je mag beide leden van de vergelijking met hetzelfde getal 0 vermenigvuldigen of door hetzelfde getal 0 delen.

We noemen dit ook wel het "weegschaalmodel" omdat de balans in evenwicht blijft als je aan beide kanten van de weegschaal maar dezelfde gewichten toevoegt of weghaalt.

  • Kwadratische vergelijkingen los je op door ze eerst tot één van bovengenoemde typen (type 1, 2 of 3) te herleiden.

Type 1 en 2 kunnen daarna volgens vaste regels opgelost worden. Bij type 3 hangt de oplossingsmethode een beetje af van de waarden van a, b en c en of je daarbij herkent welke oplossingsmethode het makkelijkst is. De makkelijkste methode is "ontbinden in factoren", maar deze kan lang niet altijd toegepast worden. Een methode die wel altijd toegepast kan worden is het gebruik van de abc-formule.

Alle soorten kwadratische vergelijkingen en hun oplossingsmethoden worden op deze website behandeld en kun je via het "Lessen online" menu bereiken.

Omhoog


Kwadratische vergelijkingen van het type ax2 + bx = 0
Ook dit type is eenvoudig oplosbaar. Dus je hebt weer geluk als je een kwadratische vergelijking tot deze vorm kunt herleiden. Hieronder zie je het oplossingsschema.

ax2 + bx = 0    x(ax + b) = 0
  x = 0 of  ax + b = 0
  x = 0 of  ax = -b
  x = 0 of  x = -

 

We bestuderen deze oplossingsmethode aan de hand van een aantal voorbeelden.

Omhoog


Voorbeeld 1

Een voorbeeld van dit type is:

x2 + 5x = 0

We gaan de oplossingsmethode stap voor stap bekijken:

  1. De termen x2 ( = x· x) en 5x ( = 5· x) bevatten beide minimaal één factor x. We kunnen dus één factor x buiten haakjes halen. We krijgen dan:

x(x + 5) = 0

We zeggen ook wel dat we x2 + 5x ontbonden hebben in twee factoren
x
en (x + 5).

  1. We hebben nu dus een product van twee factoren xen (x + 5) waarvan de waarde gelijk aan 0 is. Dit betekent dat er twee mogelijkheden zijn:

 x = 0 òf  x + 5 = 0 oftewel x = 0 òf  x = - 5

  1. De oplossingen van x2 + 5x = 0 zijn dus x = 0 en  x = - 5. Er zijn dus twee oplossingen! Je kunt gemakkelijk nagaan dat dit ook klopt door deze waarden van x in de vergelijking in te vullen. Je ziet dan dat er inderdaad 0 uit komt. Ga dit na!

Omhoog


Voorbeeld 2
Een tweede voorbeeld van dit type is:

3x2 - 2x = 0

We gaan ook hier weer de oplossingsmethode stap voor stap bekijken:

  1. Vermenigvuldig eerst beide leden van de vergelijking met ( het omgekeerde
    van 3). Je krijgt dan:

(3x2 - 2x) = · 0 = 0

  1. Werk nu nog de haakjes weg. Dan krijg je:

1x2 - x = 0 oftewel  x2 - x = 0

We hebben natuurlijk met opzet beide leden van de vergelijking met het omgekeerde van 3 vermenigvuldigd want:  · 3 = 1 en verder is
· 2 = .

  1. De termen x2 (= x· x) en x (= · x) bevatten beide minimaal één factor x. We kunnen dus één factor x buiten haakjes halen. We krijgen dan:

x(x - ) = 0

We zeggen ook wel dat we x2 - x ontbonden hebben in twee factoren
x
en (x - ).

  1. We hebben nu dus een product van twee factoren x en (x - ) waarvan de waarde gelijk aan 0 is. Dit betekent dat er twee mogelijkheden zijn:

x = 0  òf  ( x - ) = 0 oftewel x = 0  òf  x =

  1. De oplossingen van 3x2 - 2x = 0 zijn dus x = 0 en x = . Er zijn dus twee oplossingen! Je kunt gemakkelijk nagaan dat dit ook klopt door deze waarden van x in de vergelijking in te vullen. Je ziet dan dat er inderdaad 0 uit komt. Ga dit na!

Omhoog


Voorbeeld 3
Een derde voorbeeld met breuken van dit type is:

2x2 - 3x = 0

We gaan ook hier weer de oplossingsmethode stap voor stap bekijken:

  1. Vermenigvuldig eerst beide leden van de vergelijking met ( het omgekeerde
    van 2 = ). Je krijgt dan:

(2x2 - 3x) = · 0 = 0

  1. Werk nu nog de haakjes weg. Dan krijg je:

1x2 - x = 0 oftewel  x2 - 1x = 0

We hebben natuurlijk met opzet beide leden van de vergelijking met het omgekeerde van 2 vermenigvuldigd want: · 2 = · = 1 en verder is · 3 = · = = 1

  1. De termen x2 (= x· x) en 1x (= 1· x) bevatten beide minimaal één factor x. We kunnen dus één factor x buiten haakjes halen. We krijgen dan:

x(x - 1) = 0

We zeggen ook wel dat we x2 - 1x ontbonden hebben in twee factoren  x en (x - 1).

  1. We hebben nu dus een product van twee factoren x en (x - 1) waarvan de waarde gelijk aan 0 is. Dit betekent dat er twee mogelijkheden zijn:

 x = 0 òf  (x - 1) = 0  oftewel   x = 0 òf  x = 1

  1. De oplossingen van 2x2 - 3x = 0 zijn dus x = 0 en  x = 1. Er zijn dus twee oplossingen! Je kunt gemakkelijk nagaan dat dit ook klopt door deze waarden van x in de vergelijking in te vullen. Je ziet dan dat er inderdaad 0 uit komt. Ga dit na!

Omhoog


Opgaven

  1.       Los op
    1. 4x2 - 5 = 6x - 5

    2. 9x + 7 =  7(x2 + 1)

    3. 4x2 - 4 = 4(2x - 1)

    4. 8(x - 1) =  4(2 - x2) - 16

    5. 3(x - 2) = 5(x2 - 3) + 9

    6. 5x  - 3 = 3(x2 - 1)
          

  2.     Los op

    1. 2(3x + 7) = x - (2x2 - 14)

    2. 2.8x2 - 1.5 = 5.3x - 1.5

    3. 0.3x2 + 7.5 = 5 - 2.5(x - 1)

    4. 3x - 8 = 2x2 - (x + 8)

Maak eerst zelf de opgaven alvorens je de uitwerkingen gaat bekijken.

Uitwerkingen

Omhoog