Kwadratische vergelijkingen van het type ax² + bx + c = 0
oplossen d.m.v. kwadraatafsplitsen

Inleiding
We gaan hier het oplossen van kwadratische vergelijkingen m.b.v. kwadraatafsplitsen behandelen. Naast het oplossen m.b.v. de abc-formule is kwadraatafsplitsen en zeer bruikbare methode. De vergelijking 5x² + 2  =  2x + 7 is een voorbeeld van een kwadratische vergelijking. In plaats van kwadratische vergelijking spreken we ook wel van vierkantsvergelijking. In een kwadratische vergelijking komen dus kwadratische termen zoals in dit geval  5x² voor. Er komen geen derdegraads termen zoals 2x³ of nog hogere machten van x in voor.

Elke kwadratische vergelijking kan altijd tot één van de twee onderstaande typen herleid worden.

1. x² = c

2. x² + bx = c, waarbij b0.

3. x² - bx = c, waarbij b0.

In type 2 en 3 komt er ook nog een eerstegraads term van x in de vergelijking voor.
Type 1 is gemakkelijk oplosbaar en daarbij hoef je de methode van kwadraatafsplitsen niet te gebruiken. Bij het herleiden en oplossen van vergelijkingen moet je in ieder geval een aantal basisregels in acht nemen.

• Je mag bij beide leden van de vergelijking hetzelfde getal optellen of van beide leden hetzelfde getal aftrekken.

• Je mag beide leden van de vergelijking met hetzelfde getal 0 vermenigvuldigen of door hetzelfde getal 0 delen.

We noemen dit ook wel het "weegschaalmodel" omdat de balans in evenwicht blijft als je aan beide kanten van de weegschaal maar dezelfde gewichten toevoegt of weghaalt.

• Als je een kwadratische vergelijking m.b.v. kwadraatafsplitsen wilt oplossen, herleid je de vergelijking eerst tot één van bovengenoemde typen (type 1, 2 of 3).

Type 1 kan daarna volgens vaste regels opgelost worden. Bij type 2 en 3 kun je de methode van kwadraatafsplitsen gebruiken.

Kwadraatafsplitsen bij het type x² + bx = c, waarbij b0.
We gaan in de kwadratische vergelijking van de vorm

                                          x² + bx = c                                          (1)

bij beide leden een getal optellen, zodanig dat het linkerlid x² + bx van de vergelijking als een kwadraat (x + p)² geschreven kan worden. Om er achter te komen wat de waarde van p moet zijn en welk getal we bij beide leden moeten optellen, kijken we eerst even wat we krijgen als we in (x + p)² de haakjes wegwerken. We krijgen:

                                        (x + p)² = x² + 2px + p²                                 (2)

Als we vergelijking (1) met uitdrukking (2) vergelijken is het duidelijk dat 2p = b en
dus p = . Verder moeten we p² = bij beide leden van (1) optellen om daar in
het linkerlid een kwadraat te krijgen. Het resultaat wordt:

                               x² + bx + = + c                                (3)

en dus

                                           = + c                                      (4)

We hebben nu het kwadraat afgesplitst. Als we verder zouden rekenen met de lettergetallen b en c zijn we in principe bezig de abc-formule af te leiden voor het
geval a = 1. Als we de waarden van b en c zouden kennen, kunnen we de vergelijking snel oplossen. Daarom gaan we nu verder met een voorbeeld.

Voorbeeld 1
Als eerste voorbeeld nemen we de vierkantvergelijking 8x² + 48x = 24. Bij het oplossen ga je systematisch te werk. De getallen zijn zo gekozen dat er geen breuken ontstaan.

1. Herleid de vergelijking tot de vorm x² + bx = c. Je krijgt dan:

x² + 6x = 3 Ga dit na!

2. Tel bij beide leden ( · 6)² = 3² = 9 op. Je krijgt dan:

x² + 6x + 9 = 3 + 9 = 12



(x + 3)² = 12

3. We weten dat in het algemeen geldt:

l² = k    l = k of  l = -k

Dus geldt:

x + 3 = 12 of  x + 3 =  -12

x = -3 + 12 of  x = -3 -12

x = -3 + 23 of  x = -3 -23

Dit is de gevraagde oplossing.

Kwadraatafsplitsen bij het type x² - bx = c, waarbij b0.
We gaan in de kwadratische vergelijking van de vorm

                                          x² - bx = c                                          (1)

bij beide leden een getal optellen, zodanig dat het linkerlid x² - bx van de vergelijking als een kwadraat (x - p)² geschreven kan worden. Om er achter te komen wat de waarde van p moet zijn en welk getal we bij beide leden moeten optellen, kijken we eerst even wat we krijgen als we in (x - p)² de haakjes wegwerken. We krijgen:

                                        (x - p)² = x² - 2px + p²                                 (2)

Als we vergelijking (1) met uitdrukking (2) vergelijken is het duidelijk dat 2p = b en
dus p = . Verder moeten we p² = bij beide leden van (1) optellen om daar in
het linkerlid een kwadraat te krijgen. Het resultaat wordt:

                               x² - bx + = + c                                (3)

en dus

                                           = + c                                      (4)

We hebben nu het kwadraat afgesplitst. Als we verder zouden rekenen met de lettergetallen b en c zijn we in principe bezig de abc-formule af te leiden voor het
geval a = 1. Als we de waarden van b en c zouden kennen, kunnen we de vergelijking snel oplossen. Daarom gaan we nu verder een voorbeeld.

Voorbeeld 2
Het tweede voorbeeld is de vierkantvergelijking -18x² - 50 = -60x. Bij het oplossen ga je weer systematisch te werk.

1. Herleid de vergelijking tot de vorm ax² + bx = c, waarbij a0. Je krijgt dan:

18x² - 60x = -50

2. Kijk of je de vergelijking nog verder kunt herleiden. In dit geval kun je alle termen nog door 2 delen. Je krijgt dan:

9x² - 30x = -25

3. Deel alle termen door 9. Je krijgt dan:

x² - x = -

4. Tel nu bij beide leden = op. Je krijgt dan:

x² - x + = - = 0

en dus

= 0

5. Daaruit volgt: x - = 0 en dus x = = 1 = 1 .

Voorbeeld 3
Het derde voorbeeld is de vierkantvergelijking 18x² + 100 = 60x. Bij het oplossen ga je weer systematisch te werk.

1. Herleid de vergelijking tot de vorm ax² + bx = c, waarbij a0. Je krijgt dan:

18x² - 60x = -100

2. Kijk of je de vergelijking nog verder kunt herleiden. In dit geval kun je alle termen nog door 2 delen. Je krijgt dan:

9x² - 30x = -50

3. Deel alle termen door 9. Je krijgt dan:

x² - x = -

4. Tel nu bij beide leden = op. Je krijgt dan:

x² - x + = - = -

en dus

= -

5. Omdat -0 is en omdat 0 voor elke waarde van x is er dus geen oplossing.

6. We kunnen nu stoppen met de mededeling:

Geen oplossing.

Opgaven

1.       Los op m.b.v. kwadraatafsplitsen

   1. 4x² - 5 = 6x - 7

   2. 9x + 7 =  6(x² - 1)

   3. 4x² - 4 = 3(2x - 1)

   4. 8(x - 1) =  4(2 - x²) - 16

   5. 3(x - 2) = 5(x² - 3) - 9

   6. 5x  - 3 = 3(x² - 1)
          

2.     Los op m.b.v. kwadraatafsplitsen

   1. 2(3x² - 1) = x - (2x - 14)

   2. 2.8x² + 2 = 5.3x - 1.5

   3. 0.3x - 2.1 = 5 - 1.7(x² - 1)

   4. 3x² - 1 = 2x - (x - 8)