|
1. Inleiding
Merkwaardige
producten zijn enkele producten uit de algebra, die zeer veel
voorkomen en om hun symmetrisch uiterlijk bekend zijn en daarom
merkwaardig genoemd worden. Omdat je in de wiskunde deze
producten zo vaak tegenkomt loont het de moeite de uitkomsten
ervan uit je hoofd te leren.
De vijf
bekendste zijn:
- (a + b)(a
+ b) = a2
+ 2ab + b2
- (a -
b)(a
-
b) = a2 - 2ab + b2
- (a + b)(a
-
b) = a2 -
b2
- (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- (a -
b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
De term 2ab
die je in de eerste twee merkwaardige producten tegenkomt,
heeft de toepasselijke naam "dubbelproduct",
dus 2 × het product van a
en b.
 |
Let op! Het dubbelproduct wordt door
een heleboel dummies vaak vergeten! Maak die fout dus zelf
nooit. |
De eerste twee
merkwaardige producten kom je ook vaak tegen in de vorm (a + b)2
en (a  b)2.
In deze les gaan we de eerste drie merkwaardige producten m.b.v.
een animatie afleiden.
2. Het
merkwaardig product (a + b)(a + b)
of (a
+ b)2
Om de uitkomst van dit merkwaardig product te begrijpen
kunnen we natuurlijk gewoon de haakjes wegwerken, zoals we in
één van de vorige lessen geleerd hebben. Maar het is ook wel
leuk om dit met een animatie met oppervlakten te doen. Bij dit
voorbeeld gaan we er voor het gemak even van uit dat a
en b positieve
getallen zijn, omdat we anders niet met oppervlakten kunnen
werken. We tekenen een vierkant met breedte a + b
en lengte a + b.
De oppervlakte van dit vierkant is gelijk aan het merkwaardig
product (a + b)(a + b)
= (a + b)2.
Dit vierkant verdelen we in twee kleinere vierkanten van a
bij a en b
bij b, en twee rechthoeken
van a bij b.
In onderstaande animatie kun je stap voor stap zien dat (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Gebruik de control buttons om elke gedachtenstap in beeld te brengen.
Conclusie:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
|
Let op! Deze regel geldt ook als a
of b negatieve
getallen zijn |
In
onderstaande animatie wordt ook nog voorgedaan hoe het gaat als
je gewoon de haakjes wegwerkt. Je weet dat (a + b)2
= (a + b)(a + b).
Je hoeft dus alleen maar de haakjes in het product (a + b)(a + b)
weg te werken.
Gebruik de control buttons om elke gedachtenstap in beeld te brengen.
Opgaven
Bereken:
-
(2a
+ 5b)2 = ...
-
(-p
+ 3q)2 = ...
-
(-p
-
2q)2 = ...
-
(2a -
5b)2 = ...
-
(2a
+ 5b)(2a -
5b) = ...
-
(-p
+ 3q)(-p
-
3q) = ...
Antwoorden en uitwerkingen
|
