Inleiding
Om rekenregels
te ontdekken en beter te begrijpen, kunnen we soms handig
gebruik maken van eigenschappen van oppervlakten van
rechthoeken. Dat komt omdat we een oppervlakte in een tekening
kunnen aangeven en dus met eigen ogen (visueel dus) kunnen zien
hoe het zit. Dit geldt ook voor de manier waarop we in
berekeningen waarin haakjes voorkomen, deze haakjes kunnen
wegwerken.
Bij een product
van twee positieve getallen a
∙ b
kunnen we ons de oppervlakte voorstellen van een rechthoek van a
bij b. Kijk maar naar
onderstaande afbeelding.
|
Let op! In het product a
∙ b
laten wiskundigen meestal het
maalteken ' ∙ ' weg.
Dus in plaats van a
∙ b
schrijven we ab
. |
Uitleg
en animaties bij a ∙ (b
+ c)
Als je 3 ∙ (7
+ 5) moet uitrekenen, doe je
eerst wat tussen haakjes staat 7
+ 5 =
12 en daarna bereken je het antwoord door 3 ∙ 12
= 36. Je houdt je
aan de voorrangsregels voor rekenkundige bewerkingen. Maar wat
te doen met de uitdrukking a ∙ (b
+ c)? Kun je deze
uitdrukking ook zonder haakjes schrijven? Je kunt de haakjes
niet wegwerken door eerst b
en c bij elkaar
op te tellen. Je weet de waarde van b
en c immers
niet.
Om te begrijpen
hoe we de haakjes in a ∙ (b
+ c) toch kunnen
wegwerken, gaan we er voorlopig even van uit dat a,
b en c
positieve
getallen zijn en tekenen een rechthoek met breedte a
en lengte b + c.
Deze rechthoek verdelen we in twee kleinere rechthoeken van a
bij b en a
bij c. Gebruik
onderstaande animatie en kijk wat er gebeurt.
Gebruik de control buttons om elke gedachtenstap in beeld te brengen.
De oppervlakte
van de totale rechthoek is lengte maal breedte, dus a ∙ (b
+ c) en natuurlijk ook (b
+ c)
∙ a.
In de tekening zie je meteen dat deze oppervlakte ook gelijk is
aan de som van de twee kleinere rechthoeken, dus a
∙ b
+ a ∙ c.
Conclusie:
a ∙ (b
+ c) = a
∙ b
+ a ∙ c
en dus ook (b
+ c)
∙ a
= a
∙ b
+ a ∙ c.
|
Let op! Meestal wordt het
maalteken ∙ weggelaten. Dus schrijven we:
a(b
+ c) = ab
+ ac
en (b
+ c)a
= ab + ac
|
|
|
Let op! De regel geldt ook als a,
b of c
negatieve getallen
zijn!
Het is
natuurlijk niet de bedoeling om iedere keer als je haakjes moet
wegwerken een tekening met oppervlakten te maken. Een aardig
ezelsbruggetje om de haakjes in de uitdrukking a(b
+ c) weg te werken, is
de getallen die je met elkaar moet vermenigvuldigen door middel
van boogjes met elkaar te verbinden. In onderstaande animatie
wordt dit stap voor stap voorgedaan.
Gebruik de control buttons om elke gedachtenstap in beeld te brengen.
Opgaven
1. |
a. |
3xy2( x - 3x2 )
= |
|
d. |
4x( x2 - x )
= |
|
|
|
|
|
|
|
b. |
-5x2y( p + y2 )
= |
|
e. |
3xy( y - 2x2 )
= |
|
|
|
|
|
|
|
c. |
-5xy2( -2p + 3y )
= |
|
f. |
4x2y( 5xy + 6x )
= |
|
|
|
|
|
|
2. |
a. |
-5x2y( -2p + 3x2 )
= |
|
d. |
6x( x3 - x + 3 )
= |
|
|
|
|
|
|
|
b. |
-5x2y2( x - 3y )
= |
|
e. |
2x2( x2
- 3x + 4 )
= |
|
|
|
|
|
|
|
c. |
3xy2( x2 - x )
= |
|
f. |
-2y2( x + y2 + xy )
= |
|
|
|
|
|
|
3. |
a. |
-3y( y3 - 3y )
= |
|
d. |
-3y2( y2 + y - 1 )
= |
|
|
|
|
|
|
|
b. |
-3y( 2y2 - 3y3 )
= |
|
e. |
4x2( -4y - 4x - 4xy )
= |
|
|
|
|
|
|
|
c. |
-3xy( x2 - y2 )
= |
|
f. |
3x2y2( -1 + 3x + 3xy )
= |
Maak eerst zelf de
opgaven alvorens je de uitwerkingen gaat bekijken.
Uitwerkingen
|