Let op! Worteltrekken uit een negatief getal is onmogelijk.
linker hoekje rechter hoekje

De abc-formule

     
    Inhoud

  Hoofdmenu  
Kwadratische vergelijkingen 
   De abc-formule
   Type x2 = c
   Type ax2 + bx = 0
    Type ax2 + bx +c = 0
      De abc-formule
      Ontbinden in factoren
      Kwadraatafsplitsen
    Bewijs vd abc-formule
    Oplossings-stroomschema 
  1. Inleiding
  2. Kwadratische vergelijkingen
    van het type ax2 + bx + c = 0
  3. De abc-formule
  4. Opgaven
  5. Uitwerkingen

Inleiding
De abc-formule wordt gebruikt bij het oplossen van kwadratische vergelijkingen. De vergelijking 5x2 + 2  =  2x + 7 is een voorbeeld van een kwadratische vergelijking. In plaats van kwadratische vergelijking spreken we ook wel van vierkantsvergelijking. In een kwadratische vergelijking komen dus kwadratische termen zoals in dit geval  5x2 voor. Er komen geen derdegraads termen zoals 2x3 of nog hogere machten van x in voor.

Elke kwadratische vergelijking kan altijd tot één van de drie onderstaande typen herleid worden.

  1. x2 = p

  2. ax2 + bx = 0

  3. ax2 + bx + c = 0

In type 2 en 3 komen ook nog eerstegraads termen van x voor en zijn beide op 0 herleid, d.w.z. zij eindigen beide op ... = 0. Bij type 1 hoeft de waarde van p niet gelijk aan 0 te zijn. Bij het het herleiden van kwadratische vergelijkingen naar één van de bovenstaande standaardvormen moet je in ieder geval een aantal basisregels in acht nemen.

  • Je mag bij beide leden van de vergelijking hetzelfde getal optellen of van beide leden hetzelfde getal aftrekken.

  • Je mag beide leden van de vergelijking met hetzelfde getal 0 vermenigvuldigen of door hetzelfde getal 0 delen.

We noemen dit ook wel het "weegschaalmodel" omdat de balans in evenwicht blijft als je aan beide kanten van de weegschaal maar dezelfde gewichten toevoegt of weghaalt.

  • Kwadratische vergelijkingen los je altijd op door ze eerst tot één van bovengenoemde typen (type 1, 2 of 3) te herleiden.

Type 1 en 2 kunnen daarna volgens vaste regels opgelost worden. Hierbij heb je de
abc-formule niet nodig. Bij type 3 hangt de oplossingsmethode een beetje af van de waarden van a, b en c en of je daarbij zelf herkent welke oplossingsmethode het makkelijkst is. De makkelijkste methode is "ontbinden in factoren", maar deze kan lang niet altijd toegepast worden. Een methode die wel altijd toegepast kan worden is het gebruik van de abc-formule.

Alle soorten kwadratische vergelijkingen en hun oplossingsmethoden worden op deze website behandeld en kun je via het "Lessen online" menu bereiken.

Omhoog


Kwadratische vergelijkingen van het type ax2 + bx + c = 0
Als je bij het herleiden van een kwadratische vergelijking op dit type uitkomt, waarbij dus
a, b en c 0, moet je er bij het herleiden altijd naar streven dat a, b en c zo klein mogelijke gehele getallen worden. Dit kan natuurlijk niet altijd maar probeer er bij het herleiden in ieder geval voor te zorgen dat a een positief geheel getal wordt. Je kunt de volgende gevallen krijgen:

  1. a = 1,  b en c gehele getallen

  2. Alle overige gevallen

In geval I probeer je eerst te ontbinden in factoren. Lukt dit niet op een makkelijke manier dan pas je de abc-formule toe. In alle overige gevallen is het aan te raden om altijd de abc-formule toe te passen. Op deze webpagina gaan we de abc-formule behandelen en een paar voorbeelden bekijken.

Omhoog


De abc-formule
De abc-formule kan in alle gevallen gebruikt worden. De abc-formule is al heel oud, stokoud. Zodra een beschaving zich met wiskunde ging bezighouden was dit één van de eerste formules die ze gingen afleiden. Iedereen wil namelijk graag kwadratische vergelijkingen op een zo handig mogelijke manier oplossen! Niet omdat het zo'n leuke hobby is, maar gewoon omdat allerlei praktische problemen m.b.v. kwadratische vergelijkingen makkelijk op te lossen zijn. Na enig gepuzzel en logisch nadenken komt men dan tot de volgende formule voor de oplossingen van de kwadratische vergelijking:

  ax2 + bx + c = 0

x =

-b -
2a
 of  x =
-b +
2a

Dit noemt men de abc-formule en het bewijs voor deze formule wordt elders op deze website gegeven.

In deze formules komt een belangrijke term voor. We weten dat niet bestaat als b2 - 4ac 0. Want worteltrekken uit een negatief getal kan niet! We komen dan tot de volgende slotsom:

 
  • Als b2 - 4ac 0 heeft de vergelijking ax2 + bx + c = 0 geen oplossingen.
       

  • Als  b2 - 4ac = 0 dan is = 0 en is er maar één oplossing,
    namelijk x = .
       

  • Als b2 - 4ac0 zijn er twee verschillende oplossingen.

 

Omdat de waarde van de term b2 - 4ac beslissend is of er oplossingen bestaan en hoeveel het er zijn noemen we b2 - 4ac dan ook wel de discriminant van de kwadratische vergelijking en we schrijven:

Db2 - 4ac

Het is dan ook handig om bij het oplossen van een kwadratische vergelijking eerst de discriminant uit te rekenen. Dan weet je tenminste waar je aan toe bent.

We schrijven de abc-formule daarom ook wel in de vorm:

   

x =

-b -D
2a
 of  x =
-b +D
2a
 waarin Db2 - 4ac
  • D0 geen oplossingen
  • D = 0 één oplossing
  • D0 twee oplossingen

We gaan nu een aantal voorbeelden bestuderen om een beter idee te krijgen over het gebruik van de de abc-formule.

Omhoog


Voorbeeld 1
Als eerste voorbeeld nemen we de kwadratische vergelijking 8x2 + 20x = 28. Bij het oplossen ga je systematisch te werk.

  1. Herleid de vergelijking tot de vorm ax2 + bx + c = 0. Je krijgt dan:

8x2 + 20x - 28 = 0

  1. Kijk of je de vergelijking nog verder kunt herleiden. In dit geval kun je alle termen nog door 4 delen. Je krijgt dan:

2x2 + 5x - 7 = 0

  1. Schrijf nu de waarden van a, b en cop die je nodig hebt om met de abc-formule de oplossingen te kunnen berekenen. Je krijgt dan:

a = 2, b = 5 en c= -7

  1. Bereken nu de waarde van de discriminant Db2 - 4ac om te zien of er wel oplossingen zijn. Je vindt dan:

D b2 - 4ac
= 52 - 4 · 2 · -7
= 25 + 56 Let op! -- = +
= 810, dus er zijn twee oplossingen.
  1. Bereken nu de oplossingen met de abc-formule. Je krijgt dan:

x =

-b -D
2a
 of  x =
-b +D
2a

Invullen van de waarden van  a, b en D geeft dan:

x =

-5 -81
2 · 2
 of  x =
-5 +81
2 · 2

en dus na enig rekenen waarbij o.a. 81 = 9 en 2 · 2 = 4 krijg je:

 x= -3 òf  x= 1

Omhoog


Voorbeeld 2
Het tweede voorbeeld is de kwadratische vergelijking -18x2 - 50 = 60x. Bij het oplossen ga je weer systematisch te werk.

  1. Herleid de vergelijking tot de vorm ax2 + bx + c = 0, waarbij a0. Je krijgt dan:

18x2 + 60x + 50 = 0

  1. Kijk of je de vergelijking nog verder kunt herleiden. In dit geval kun je alle termen nog door 2 delen. Je krijgt dan:

9x2 + 30x + 25 = 0

  1. Schrijf nu de waarden van a, b en c op die je nodig hebt om met de abc-formule de oplossingen te kunnen berekenen. Je krijgt dan:

a = 9, b = 30 en c = 25

  1. Bereken nu de waarde van de discriminant Db2 - 4ac om te zien of er wel oplossingen zijn. Je vindt dan:

D b2 - 4ac
= 302 - 4 · 9 · 25
= 900 - 900
= 0, dus er is slechts één oplossing.
  1. Bereken nu de oplossingen met de abc-formule. Je krijgt dan:

x =

-b -D
2a
 of  x =
-b +D
2a

Invullen van de waarden van  a, b en D geeft dan:

x =

-30 -0
2 · 9
 of  x =
-30 +0
2 · 9

en dus na enig rekenen waarbij o.a. 0 = 0 en 2 · 9 = 18 krijg je:

 x = - = -1 = -1 

Omhoog


Voorbeeld 3
Het derde voorbeeld is de kwadratische vergelijking 18x2 + 50 = 30x. Bij het oplossen ga je weer systematisch te werk.

  1. Herleid de vergelijking tot de vorm ax2 + bx + c = 0, waarbij a0. Je krijgt dan:

18x2 - 30x + 50 = 0

  1. Kijk of je de vergelijking nog verder kunt herleiden. In dit geval kun je alle termen nog door 2 delen. Je krijgt dan:

9x2 - 15x + 25 = 0

  1. Schrijf nu de waarden van a, b en c op die je nodig hebt om met de abc-formule de oplossingen te kunnen berekenen. Je krijgt dan:

a = 9, b = -15 en c = 25

  1. Bereken nu de waarde van de discriminant Db2 - 4ac om te zien of er wel oplossingen zijn. Je vindt dan:

D b2 - 4ac
= (-15)2 - 4 · 9 · 25
= 225 - 900
= -6750, er is dus geen oplossing.
  1. We kunnen nu stoppen met de mededeling:

Geen oplossing.

Omhoog


Opgaven

  1.       Los op
    1. 4x 5 = 6x2 7

    2. 9x + 7 =  6(x2 1)

    3. 4x2 4 = 3(2x 1)

    4. 8(x2 1) =  4(2 x) 16

    5. 3(x 2) = 5(x2 3) 9

    6. 5x2  3 = 3(x 1)
          

  2.     Los op

    1. 2(3x2 1) = x (2x 14)

    2. 2.8x + 2 = 5.3x2 1.5

    3. 0.3x 2.1 = 5 1.7(x2 1)

    4. 3x 1 = 2x2 (x 8)

Maak eerst zelf de opgaven alvorens je de uitwerkingen gaat bekijken.

Uitwerkingen

Omhoog