Let op! Worteltrekken uit een negatief getal is onmogelijk.
linker hoekje rechter hoekje

Bewijs van de abc-formule

     
    Inhoud

  Hoofdmenu  
Kwadratische vergelijkingen 
   De abc-formule
   Type x2 = c
   Type ax2 + bx = 0
    Type ax2 + bx +c = 0
      De abc-formule
      Ontbinden in factoren
      Kwadraatafsplitsen
    Bewijs vd abc-formule
    Oplossings-stroomschema 
  1. Inleiding
  2. De abc-formule
  3. Het bewijs van de abc-formule
  4. De Discriminant
      

 

 


Inleiding
De vergelijking 5x2 + 2  =  2x + 7 is een voorbeeld van een kwadratische vergelijking. In plaats van kwadratische vergelijking spreken we ook wel van vierkantsvergelijking. In een kwadratische vergelijking komen dus kwadratische termen zoals in dit geval  5x2 voor. Er komen geen derdegraads termen zoals 2x3 of nog hogere machten van x in voor.

Elke kwadratische vergelijking kan altijd tot de standaardvorm

ax2 + bx + c = 0, met a 0

herleid worden. Bij het oplossen en herleiden van vergelijkingen moet je in ieder geval een aantal basisregels in acht nemen.

  • Je mag bij beide leden van de vergelijking hetzelfde getal optellen of van beide leden hetzelfde getal aftrekken.

  • Je mag beide leden van de vergelijking met hetzelfde getal 0 vermenigvuldigen of door hetzelfde getal 0 delen.

We noemen dit ook wel het "weegschaalmodel" omdat de balans in evenwicht blijft als je aan beide kanten van de weegschaal maar dezelfde gewichten toevoegt of weghaalt.

  • Kwadratische vergelijkingen los je op door ze eerst m.b.v. bovengenoemde basisregels tot de standaardvorm te herleiden. Daarna zijn er voor het oplossen van de vergelijking nog diverse mogelijkheden. Dit hangt af van de waarden van a, b en c. Een oplossingsmethode die je in alle gevallen kunt toepassen is het gebruik van de abc-formule. Elders op deze website worden de bijzondere gevallen behandeld. Hier behandelen we de abc-formule en het bewijs daarvan. In de meeste leerboekjes wordt het bewijs achterwege gelaten, maar je kunt er veel van leren door dit bewijs te bestuderen.

Omhoog


De abc-formule
De abc-formule is al heel oud, stokoud. Maar het is en het blijft een highlight van de wiskunde. Zodra een beschaving zich met wiskunde ging bezighouden was dit één van de eerste formules die ze gingen afleiden. Iedereen wil namelijk graag kwadratische vergelijkingen op een zo handig mogelijke manier oplossen! Niet omdat het zo'n leuke hobby is, maar gewoon omdat allerlei praktische problemen m.b.v. kwadratische vergelijkingen gemakkelijk op te lossen zijn.  Na enig gepuzzel en logisch nadenken komt men dan tot de volgende formule voor de oplossingen van een kwadratische vergelijkingen:

ax2 + bx + c = 0      x =

-b +
2a
 of  x =
-b -
2a

Omhoog


Bewijs van de abc-formule
Om te beginnen delen we alle termen in de vergelijking ax2 + bx + c = 0 door a. Dit kan omdat we zeker weten dat a 0. Immer als a = 0 dan hebben we geen kwadratische vergelijking meer! We krijgen:

x2 + x + = 0

Vervolgens trekken we van beide leden van de vergelijking  af. We krijgen dan:

               x2 + x + = 0       x2 + x =                (1)

We gaan nu bij beide leden een getal optellen, zodanig dat het linkerlid x2 + x van de vergelijking als een kwadraat (x + p)2 geschreven kan worden. Om er achter te komen wat de waarde van p moet zijn en welk getal we bij beide leden moeten optellen, kijken we eerst even wat we krijgen als we in (x + p)2 de haakjes wegwerken. We krijgen:

                                        (x + p)2 = x2 + 2px + p2                                 (2)

Als we vergelijking (1) met uitdrukking (2) vergelijken is het duidelijk dat 2p = en dus
p = . Verder moeten we p2 = bij beide leden van (1) optellen om daar een kwadraat te krijgen. Het resultaat wordt:

                           x2 + x + =                               (3)

en dus

                                     =                                       (4)

Het linkerlid van de vergelijking is nu een kwadraat. Voordat we verder gaan, herleiden we eerst het rechterlid van de vergelijking door daar alles onder één noemer te brengen.

=  

    

=  

    
                                 

=  

                               (5)

Nu hebben we bijna de abc-formule. We weten dat in het algemeen geldt:

l2 = k    l = k of  l = -k

Uit (5) volgt dan:

x +  

 of  x +  

x +  

 
 of  x +  
 

Op dit punt in het bewijs moeten we even opletten! Er komen twee wortelvormen in de formules voor, namelijk en . De vorm kunnen we niet verder herleiden, maar wel. Daarbij moeten we wel bedenken dat de uitkomst van een wortel nooit kleiner dan nul mag zijn. Er geldt dus:

= 2|a| =  +2a als a0
2a als a0

We moeten dus onderscheid maken tussen het geval dat a0 en a0 is. In beide gevallen krijgen we echter (ga dit na) de volgende formules:

x +  

 
2a
 of  x +  
 
2a

x    + 

 
2a
 of  x    
 
2a

x =

-b +
2a
 of  x =
-b -
2a

Hetgeen te bewijzen viel!

Omhoog


De Discriminant
In de abc-formule komt een belangrijke term voor. We weten dat niet bestaat als b2 - 4ac 0. Want worteltrekken uit een negatief getal kan niet! We komen dan tot de volgende slotsom:

 
  • Als b2 - 4ac 0 heeft de vergelijking ax2 + bx + c = 0 geen oplossingen.
       

  • Als  b2 - 4ac = 0 dan is = 0 en is er maar één oplossing,
    namelijk x = .
       

  • Als b2 - 4ac0 zijn er twee verschillende oplossingen.

 

Omdat de waarde van de term b2 - 4ac beslissend is of er oplossingen bestaan en hoeveel het er zijn noemen we b2 - 4ac dan ook wel de discriminant van de kwadratische vergelijking en we schrijven:

Db2 - 4ac

Het is dan ook handig om bij het oplossen van een kwadratische vergelijking eerst de discriminant uit te rekenen. Dan weet je tenminste waar je aan toe bent.

We schrijven de abc-formule daarom ook wel in de vorm:

   

x =

-b -D
2a
 of  x =
-b +D
2a
 waarin Db2 - 4ac
  • D0 geen oplossingen
  • D = 0 één oplossing
  • D0 twee oplossingen

Omhoog