|
Inleiding
Om rekenregels
te ontdekken en beter te begrijpen, kunnen we soms handig
gebruik maken van eigenschappen van oppervlakten van
rechthoeken. Dat komt omdat we een oppervlakte in een tekening
kunnen aangeven en dus met eigen ogen (visueel dus) kunnen zien
hoe het zit. Dit geldt ook voor de manier waarop we in
berekeningen waarin haakjes voorkomen, deze haakjes kunnen
wegwerken.
Bij een product
van twee positieve
getallen a∙b
kunnen we ons de oppervlakte voorstellen van een rechthoek
van a
bij b. Kijk
maar naar onderstaande afbeelding.
Uitleg
en animatie bij a·(b
-
c)
Als je 3∙(7
- 5)
moet uitrekenen, doe je eerst wat tussen haakjes staat
7 -
5 =
2 en daarna bereken je het antwoord door 3∙2
= 6. Je houdt je
aan de voorrangsregels voor rekenkundige bewerkingen. Maar wat
te doen met de uitdrukking a∙(b
- c)?
Kun je deze uitdrukking ook zonder haakjes schrijven? Je kunt de
haakjes niet wegwerken door eerst b
en c van
elkaar af te trekken. Je weet de waarde van b
en c
immers niet.
Om te begrijpen
hoe we de haakjes in a∙(b
- c)
toch kunnen wegwerken, gaan we er voorlopig even van uit
dat a, b
en c
positieve
getallen zijn en dat b c.
We tekenen een rechthoek met breedte a
en lengte b.
Deze rechthoek verdelen we in twee kleinere rechthoeken
van a bij
b -
c en a
bij c.
Dit kan omdat bc
is dus b
- c0.
Zie
onderstaande figuur.
De oppervlakte
van de totale rechthoek is lengte maal breedte, dus a∙b.
In de tekening zie je meteen dat deze oppervlakte ook gelijk is
aan de som van de twee kleinere rechthoeken, dus a∙b
= a∙(b
- c)
+ a∙c.
Daaruit volgt dat de oppervlakte a∙(b
- c)
van de linker rechthoek gelijk is aan de totale
oppervlakte a∙b
vermindert met de oppervlakte a∙c
van de rechter rechthoek, dus a∙(b
- c)
= a∙b
- a∙c
Conclusie:
a∙(b
- c)
= a∙b
- a∙c
en dus ook (b
- c)∙a
= a∙b
- a∙c.
Let op! De regel geldt ook als a,
b of c
negatieve getallen zijn!
Het is
natuurlijk niet de bedoeling om iedere keer als je haakjes moet
wegwerken een tekening met oppervlakten te maken. Een aardig
ezelsbruggetje om de haakjes in de uitdrukking a∙(b
- c)
weg te werken, is de getallen die je met elkaar moet
vermenigvuldigen door middel van boogjes met elkaar te
verbinden. In onderstaande animatie wordt dit voorgedaan.
Elke
gedachtenstap blijft een aantal seconden in beeld.
Opgaven
|
1. |
a. |
3xy2( x - 3x2 )
= |
|
d. |
4x( x2 - x )
= |
|
|
|
|
|
|
|
b. |
-5x2y( p + y2 )
= |
|
e. |
3xy( y - 2x2 )
= |
|
|
|
|
|
|
|
c. |
-5xy2( -2p + 3y )
= |
|
f. |
4x2y( 5xy + 6x )
= |
|
|
|
|
|
|
|
2. |
a. |
-5x2y( -2p + 3x2 )
= |
|
d. |
6x( x3 - x + 3 )
= |
|
|
|
|
|
|
|
b. |
-5x2y2( x - 3y )
= |
|
e. |
2x2( x2
- 3x + 4 )
= |
|
|
|
|
|
|
|
c. |
3xy2( x2 - x )
= |
|
f. |
-2y2( x + y2 + xy )
= |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
a. |
-3y( y3 - 3y )
= |
|
d. |
-3y2( y2 + y - 1 )
= |
|
|
|
|
|
|
|
b. |
-3y( 2y2 - 3y3 )
= |
|
e. |
4x2( -4y - 4x - 4xy )
= |
|
|
|
|
|
|
|
c. |
-3xy( x2 - y2 )
= |
|
f. |
3x2y2( -1 + 3x + 3xy )
= |
Maak eerst zelf de
opgaven alvorens je de uitwerkingen gaat bekijken.
Uitwerkingen
|
