Inleiding
De vergelijking 5x2
+ 2 = 2x + 7 is
een voorbeeld van een kwadratische vergelijking. In
plaats van kwadratische vergelijking spreken we ook wel van vierkantsvergelijking.
In een kwadratische vergelijking komen dus kwadratische termen
zoals in dit geval 5x2
voor. Er komen geen derdegraads termen zoals 2x3
of nog hogere machten van x
in voor.
Elke
kwadratische vergelijking kan altijd tot de standaardvorm
ax2
+ bx
+ c = 0, met a
0
herleid worden.
Bij het oplossen en herleiden van vergelijkingen moet je in
ieder geval een aantal basisregels in acht nemen.
-
Je mag bij
beide leden van de vergelijking hetzelfde getal optellen of
van beide leden hetzelfde getal aftrekken.
-
Je mag
beide leden van de vergelijking met hetzelfde getal
0
vermenigvuldigen of door hetzelfde getal
0
delen.
We noemen dit
ook wel het "weegschaalmodel" omdat de balans in
evenwicht blijft als je aan beide kanten van de weegschaal
maar dezelfde gewichten toevoegt of weghaalt.
-
Kwadratische
vergelijkingen los je op door ze eerst m.b.v. bovengenoemde
basisregels tot de standaardvorm te herleiden. Daarna zijn
er voor het oplossen van de vergelijking nog diverse
mogelijkheden. Dit hangt af van de waarden van a,
b en c.
Een oplossingsmethode die je in alle gevallen kunt
toepassen is het gebruik van de abc-formule.
Elders op deze website worden de bijzondere gevallen
behandeld. Hier behandelen we de abc-formule
en het bewijs daarvan. In de meeste leerboekjes wordt het
bewijs achterwege gelaten, maar je kunt er veel van leren
door dit bewijs te bestuderen.
De abc-formule
De abc-formule
is al heel oud, stokoud. Maar het is en het blijft een highlight
van de wiskunde. Zodra een beschaving zich met wiskunde ging
bezighouden was dit één van de eerste formules die ze gingen
afleiden. Iedereen wil namelijk graag kwadratische
vergelijkingen op een zo handig mogelijke manier oplossen! Niet
omdat het zo'n leuke hobby is, maar gewoon omdat allerlei
praktische problemen m.b.v. kwadratische vergelijkingen
gemakkelijk op te lossen zijn. Na enig gepuzzel en logisch
nadenken komt men dan tot de volgende formule voor de
oplossingen van een kwadratische vergelijkingen:
Bewijs van
de abc-formule
Om te beginnen delen we alle termen in de vergelijking ax2
+ bx
+ c = 0 door a.
Dit kan omdat we zeker weten dat a
0. Immer als a = 0 dan
hebben we geen kwadratische vergelijking meer! We krijgen:
x2
+
x
+
= 0
Vervolgens
trekken we van beide leden van de vergelijking
af. We krijgen dan:
x2 +
x
+
-
= 0
-
x2
+
x
=
-
(1)
We
gaan nu bij beide leden een getal optellen, zodanig dat het
linkerlid x2
+
x
van de vergelijking als een kwadraat (x
+ p)2 geschreven
kan worden. Om er achter te komen wat de waarde van p
moet zijn en welk getal we bij beide leden moeten optellen,
kijken we eerst even wat we krijgen als we in (x
+ p)2 de haakjes
wegwerken. We krijgen:
(x + p)2
= x2
+ 2px
+ p2
(2)
Als
we vergelijking (1) met uitdrukking (2) vergelijken is het
duidelijk dat 2p =
en dus p =
.
Verder moeten we p2
=
bij beide leden van (1) optellen om daar een kwadraat te
krijgen. Het resultaat wordt:
x2 +
x
+
=
-
(3)
en
dus
=
-
(4)
Het
linkerlid van de vergelijking is nu een kwadraat. Voordat we
verder gaan, herleiden we eerst het rechterlid van de
vergelijking door daar alles onder één noemer te brengen.
|
= |
|
(5) |
Nu
hebben we bijna de abc-formule.
We weten dat in het algemeen geldt:
l2
= k
l = k
of l =
-k
Uit
(5) volgt dan:
x
+
= |
|
of x
+
= - |
|
Op
dit punt in het bewijs moeten we even opletten! Er komen twee
wortelvormen in de formules voor, namelijk
en
. De vorm
kunnen we niet verder herleiden, maar
wel. Daarbij moeten we wel bedenken dat de uitkomst van een
wortel nooit kleiner dan nul mag zijn. Er geldt dus:
= 2|a| = |
|
+2a als a0 |
2a
als a0 |
We
moeten dus onderscheid maken tussen het geval dat a0
en a0
is. In beide gevallen krijgen we echter (ga dit na) de volgende
formules:
Hetgeen
te bewijzen viel!
De
Discriminant
In de abc-formule
komt een belangrijke term
voor. We weten dat
niet bestaat als b2
- 4ac
0. Want worteltrekken uit een negatief getal kan niet! We komen
dan tot de volgende slotsom:
-
Als b2
-
4ac
0 heeft de vergelijking ax2
+ bx
+ c = 0 geen
oplossingen.
-
Als b2
-
4ac
= 0 dan is
= 0 en is er maar één
oplossing,
namelijk x
=
.
-
Als b2 - 4ac0
zijn er twee verschillende
oplossingen.
|
Omdat de waarde
van de term b2 - 4ac
beslissend is of er oplossingen bestaan en hoeveel het er zijn
noemen we b2 - 4ac
dan ook wel de discriminant van de kwadratische
vergelijking en we schrijven:
D
= b2
- 4ac
Het
is dan ook handig om bij het oplossen van een kwadratische
vergelijking eerst de discriminant uit te rekenen. Dan weet je
tenminste waar je aan toe bent.
We
schrijven de abc-formule
daarom ook wel in de vorm:
- D0
geen oplossingen
- D = 0 één oplossing
- D0
twee oplossingen
|
|