Kwadratische vergelijkingen van het type x² = p

Inleiding
De vergelijking 5x² + 2  =  2x + 7 is een voorbeeld van een kwadratische vergelijking. In plaats van kwadratische vergelijking spreken we ook wel van vierkantsvergelijking. In een kwadratische vergelijking komen dus kwadratische termen zoals in dit geval  5x² voor. Er komen geen derdegraads termen zoals 2x³ of nog hogere machten van x in voor.

Elke kwadratische vergelijking kan altijd tot één van de drie onderstaande typen herleid worden.

1. x² = p

2. ax² + bx = 0

3. ax² + bx + c = 0

Op deze webpagina gaan we type 1 bestuderen.
In type 2 en 3 komen ook nog eerstegraads termen van x voor en zijn beide op 0 herleid, d.w.z. zij eindigen beide op ... = 0. Bij type 1 hoeft de waarde van p niet gelijk aan 0 te zijn. Bij het oplossen of herleiden van vergelijkingen moet je in ieder geval een aantal basisregels in acht nemen.

• Je mag bij beide leden van de vergelijking hetzelfde getal optellen of van beide leden hetzelfde getal aftrekken.

• Je mag beide leden van de vergelijking met hetzelfde getal 0 vermenigvuldigen of door hetzelfde getal 0 delen.

We noemen dit ook wel het "weegschaalmodel" omdat de balans in evenwicht blijft als je aan beide kanten van de weegschaal maar dezelfde gewichten toevoegt of weghaalt.

• Kwadratische vergelijkingen los je op door ze eerst tot één van bovengenoemde typen (type 1, 2 of 3) te herleiden.

Type 1 en 2 kunnen daarna volgens vaste regels opgelost worden. Bij type 3 hangt de oplossingsmethode een beetje af van de waarden van a, b en c en of je daarbij herkent welke oplossingsmethode het makkelijkst is. De makkelijkste methode is "ontbinden in factoren", maar deze kan lang niet altijd toegepast worden. Een methode die wel altijd toegepast kan worden is het gebruik van de abc-formule.

Alle soorten kwadratische vergelijkingen en hun oplossingsmethoden worden op deze website behandeld en kun je via het "Lessen online" menu bereiken.

Kwadratische vergelijkingen van het type x² = p
Als je een kwadratische vergelijking tot dit type kunt herleiden heb je geluk, want de oplossing hiervan is wel erg eenvoudig.

De oplossing van de vergelijking x² = p is

x = p  en x = -p

• Als p een positief getal is ( p0) is ook p0 en zijn er dus twee oplossingen.

• Als p = 0 is ook p = 0 en is er slechts één oplossing. Ga dit na!

• Als p een negatief getal is ( p0) bestaat p niet en is er dus geen oplossing.
  Ga dit na!

We gaan deze gevallen na door een aantal voorbeelden te bekijken.

Voorbeeld 1
Het eerste voorbeeld van dit type is:

x² = 9

Om deze vergelijking op te lossen ga je dus op zoek naar waarden voor x waarvan het kwadraat gelijk aan 9 is. Na enig scherpzinnig nadenken kom je dan tot de conclusie dat er twee waarden voor x zijn die aan de vergelijking voldoen, namelijk:

x = 3 want 3² = 9  en  x = -3 want (-3)² = 9.

Voorbeeld 2
Een tweede voorbeeld van dit type is:

x² = 5

Om deze vergelijking op te lossen ga je dus op zoek naar waarden voor x waarvan het kwadraat gelijk aan 5 is. Na enig scherpzinnig nadenken over worteltrekken en kwadrateren en zo kom je dan tot de conclusie dat er weer twee waarden voor x zijn die aan de vergelijking voldoen, namelijk:

x = 5 want (5)² = 5  en  x = -5 want (-5)² = 5.

Voorbeeld 3
Een derde voorbeeld van dit type is:

x² = 0

Na enig nadenken kom je dan tot de conclusie dat hier slechts een waard voor x is die aan de vergelijking voldoet, namelijk:

x = 0 want 0² = 0.

Voorbeeld 4
Een vierde voorbeeld van dit type is:

x² = -5

Na enig overpeinzen kom je dan tot de conclusie dat hier geen enkele waarde voor x te vinden is die aan de vergelijking voldoet. Probeer maar eens een getal te vinden waarvan het kwadraat gelijk aan -5  is! Een kwadraat is immers nooit negatief. Dus vinden wij hier

Geen oplossing.

Opgaven

1.       Los op

   1. 4x² - 5 = 6x² - 7

   2. 9x² + 7 =  6(x² - 1)

   3. 4x² - 4 = 3(2x² - 1)

   4. 8(x² - 1) =  4(2 - x²) - 16

   5. 3(x² - 2) = 5(x² - 3) - 9

   6. 5x²  - 3 = 3(x² - 1)
          

2.     Los op

   1. 2(3x² - 1) = x² - (2x² - 14)

   2. 2.8x² + 2 = 5.3x² - 1.5

   3. 0.3x² - 2.1 = 5 - 1.7(x² - 1)

   4. 3x² - 1 = 2x² - (x² - 8)

Maak eerst zelf de opgaven alvorens je de uitwerkingen gaat bekijken.

Uitwerkingen